3. Геометричні характеристики плоских перерізів

Теоретичні відомості

Статичним моментом плоского перерізу відносно осі Ох називається узята за всією площею перерізу сума добутків площ елементарних ділянок на їх відстань до цієї осі, тобто

. (3.1)

Аналогічно, статичний момент перерізу відносно осі Оу

. (3.2)

Статичний момент має розмірність мм³, см³, м³.

Залежно від положення осі, відносно якої обчислюється статичний момент, він може бути додатним, від’ємним або рівним нулю. При відомих статичних моментах і площі перерізу координати його центру тяжіння визначаються по формулах

(3.3)

В разі відомих координат центру тяжіння статичні моменти визначають за формулами

(3.4)

У тих випадках, коли переріз може бути розбитий на прості складові частини, площі і координати центрів тяжіння яких відомі, положення центру тяжіння всього перерізу визначають по формулах (3.5)

де площі окремих частин перерізу, а и координати центрів тяжіння кожної частини.

Осьовим моментом інерції плоского перерізу відносно даної осі Ох називається інтеграл добутків елементарних площ на квадрати їх відстаней до цієї осі

(3.6)

Аналогічно, момент інерції відносно осі

(3.7)

Сума осьових моментів інерції відносно двох взаємно перпендикулярних осей дорівнює полярному моменту інерції відносно початку координат.

(3.8)

Відцентровим моментом інерції плоского перерізу називається інтеграл добутків елементарних площ на їх відстані до двох даних взаємно перпендикулярних осей

(3.9)

В процесі повороту осей відцентровий момент інерції змінюється безперервно, а при деякому положенні осей він стає рівним нулю. Якщо осі проходять через центр тяжіння перерізу, то вони називаються центральними осями. Якщо відцентровий момент інерції відносно цих осей дорівнює нулю, то вони називаються головними центральними осями і позначаються u і v. Осьовий і відцентровий моменти інерцій мають розмірність мм⁴, см⁴, м⁴.

Осьові моменти інерції відносно осей, що паралельні до головних

(3.10)

Відцентровий момент інерції відносно осей, що паралельні до головних

(3.11)

де а, b – відстані від головних осей до паралельних.

При повороті центральних осей на кут α, який вважається додатним проти ходу годинникової стрілки, осьові і відцентровий моменти інерції набирають наступного вигляду:

, (3.12)

, (3.13)

. (3.14)

Кут нахилу головних центральних осей (u, v) по відношенню до центральних осей (x, y) позначають α₀ і його можна отримати, якщо прийняти праву частину рівняння (3.14) такою, що дорівнює нулю:

. (3.15)

Головні центральні моменти інерції відносно головних центральних осей набувають екстремальних значень, величину яких можна обчислити, підставивши α₀ з (3.15) в рівняння (3.12) і (3.13):

.

Рекомендації до розв’язання задачі №3

1. Переріз необхідно викреслити в масштабі 1:2, вказати всі розміри і осі.

2. При розв’язанні задачі, якщо переріз складний, його розбивають на прості складові частини.

3. Випадкові осі для складного перерізу доцільно проводити так, щоб усі часті складного перерізу мали додатні координати і при цьому, по можливості, торкалися сторін фігури.

4. Користуючись сортаментами (табл. 3 і 4 Додатку), необхідно правильно вибирати значення осьових і відцентрових моментів інерції. Для рівнобокого кутика значення відцентрового моменту інерції обчислюється за формулою:

5. Слід мати на увазі, що вісь «min» пересікає значно більшу частину площі перерізу, чим вісь «max». Також, якщо J_XY < 0, то вісь проходить через I і III квадрати, а якщо J_XY > 0, то через II і IV.

Приклад розв’язання задачі №3

Для заданого таврового перерізу (мал. 7) визначити координати центра тяжіння, знайти осьові і відцентрові моменти інерції відносно випадкових осей, головні центральні моменти інерції.

Введемо випадкові осі u і v як показано на мал.7.

1. Визначаємо координати центра тяжіння фігури.

Якщо фігура має вісь симетрії, то координата центру тяжіння обов’язково знаходиться на ній. В даному випадку координату u_С можна визначити візуально з малюнка, вона рівна u_С = 6 см. Для визначення координати v_С розіб'ємо переріз на два прямокутники I і II, після чого визначимо центри тяжіння окремих частин і їх площі:

З находимо другу координату центра тяжіння фігури

,

де v₁ і v₂ - відстань від осі u до центру тяжіння прямокутників. Через отриманий центр тяжіння фігури (6; 11) проводимо осі x і у - головні центральні осі перетину.

Мал. 7. Тавровий переріз

Обчислюємо моменти інерції кожного з прямокутників відносно власних центральних осей:

Обчислимо моменти інерції кожного з прямокутників відносно головної осі x. Для прямокутника I:

Для прямокутника II: ;

Обчислюємо головні моменти інерції перерізу:

Головна вісь Оу збігається з центральними осями частин фігури, тому при обчисленні не знадобилося використовувати залежність між моментами інерції відносно паралельних осей.