8. Складний опір: позацентровий розтяг або стиск

Теоретичні відомості

Позацентровий розтяг (стиск) зумовлений навантаженням, рівнодійна якого F, що паралельна до осі х, прикладена в точці z_F, y_F (мал. 24). Якщо точка, де прикладена внецентрено сила F, не лежить на жодній з головних осей поперечного перерізу, то матиме місце одночасний згин відносно обох головних осей. У цьому випадку в перерізах стержня виникають:

- поздовжня сила N = F;

- згинальні моменти M_z = F∙ y_F і M_y = F∙ z_F.

Н ормальне напруження в точці В перерізу (8.1)

де А – площа поперечного перерізу. При позацентровому розтягу у формулі залишають знак «+», а при стиску «-».

Мал. 24. Позацентровий розтяг стержня.

Ексцентриситет лінії дії – відстань від точки, де прикладена сила, до його осі.

Нейтральна лінія – лінія, на якій нормальні напруження дорівнюють нулю. Це завжди пряма лінія, що відсікає на осях у, z відрізки

(8.2)

При позацентровому розтягу (стиску) нейтральна лінія не проходить через центр тяжіння перерізу. Залежно від координат точки прикладання сили F нейтральна лінія може проходити поза перерізом, дотикатись до нього або перетинати його. В останньому випадку в перерізі виникають як розтягуючи, так і стискуючі напруження. Найбільші значення напружень виникають у точках, найбільш віддалених від нейтральної лінії.

Ядро перерізу – область навколо центра перерізу, яка характерна тим, що будь-яка позацентрово прикладена в ній сила викликає по всьому перерізу напруження того самого знаку, що і прикладена сила.

Напруження в точках поперечного перерізу стержня залежать від координат точки прикладання сили, характеристик поперечного перерізу та розраховуються по формулі

(8.3)

де і_у та і_z – радіуси інерції перерізу.

Для позацентрово стиснутих стержнів, виготовлених із крихких матеріалів, є небажаною поява розтягуючи напружень, оскільки це може призвести до появи тріщин. Щоб цього не сталося, позацентрову силу слід прикладати в межах ядра перерізу.

Умова міцності для матеріалу, що неоднаково працює на розтяг і стиск

(8.4)

Умова міцності для матеріалу, що однаково працює на розтяг і стиск

(8.5)

Приклад розв’язання задачі №8

Ц егляний стовп квадратного поперечного перерізу (а = в = 80 см) навантажений поздовжньою стискуючою силою Р = 240 кН, прикладеною в точці В з координатами y_р = 25 см, z_р = 35 см (мал. 25). Треба: побудувати ядро перерізу; визначити напруження в точках 1, 2, 3 і 4 поперечного перерізу стовпа (без врахування його сили ваги); побудувати епюри нормальних напружень для контурних точок перерізу 1, 2, 3 і 4; знайти положення нейтральної осі перерізу.

Мал. 25. Приклад розв’язання задачі

1. Побудова ядра перерізу.

Знаходимо розміри ядра перерізу, тобто тієї частини перерізу, при прикладанні всередині якої стискуючої сили Р в перерізі не виникнуть розтягуючи напруження.

Момент інерції квадратного перерізу

Радіуси інерції для квадратного перерізу мають однакову величину

Координати точок контуру ядра переріза знаходимо за формулами:

Оскільки нейтральна лінія повинна дотикатись до контура перерізу, то вважаємо координатні відрізки

2. Напруги в точках 1, 2, 3 і 4 поперечного переріза стовпа знаходимо за формулою:

Для точки 1 з координатами у₁ = -40 см, z₁ = -40 см:

Для точки 2 з координатами у₂ = -40 см, z₂ = 40 см:

Для точки 3 з координатами у₃ = 40 см, z₃ = 40 см:

Для точки 4 з координатами у₄ = 40 см, z₄ = -40 см:

3. Будуємо епюри нормальних напружень для контурних точок перерізу (мал. 26).

4. Положення нейтральної осі перерізу знаходимо за допомогою відрізків, які вона відсікає на координатних осях:

Відкладаємо отримані відрізки на координатних осях, після чого отримуємо точки К і М. Через ці точки і проводимо нейтральну вісь.

Мал. 26. Графічна інтерпретація розрахунків