§ 2. Экстраалгоритм и три неразрешимые проблемы

Вернемся на время к нормальным алгоритмам. Мы пом­ним, что запись нормального алгоритма в алфавите А содержит, кроме букв в А, еще две буквы: «→» и «→•».Введем временно еще одну букву, не одинаковую ни с од­ной из указанных двух букв и не являющуюся буквой

в А.

Пусть это будет для определенности л. Запись нормаль­ного алгоритма можно превратить в слово, выписывая его формулы одну за другой и разделяя их буквами X. Такое слово очень легко снова превратить в запись нормального алгоритма (столбец формул). Теперь можно придумать некоторый прием кодирования, в результате которого по­лученное слово станет словом в А, конечно при условии, что алфавит А состоит не менее, чем из двух букв. Этот способ кодирования, например, может быть следующим. Перенумеруем все буквы алфавита. Пусть при этом будут использованы номера 1, 2..... k (k — число букв, входя­щих в А). Далее, букве «→» присвоен номер k+1, букве «→•»— номер k+2, а букве k — номер k+3. Возьмем теперь какие-либо две буквы в А. Пусть для определенности это будут а и b. Будем кодом j-й буквы (по нашей нуме­рации) считать слово в А, начинающееся буквой а, содер­жащее затем j букв b и кончающееся снова буквой а. На­пример, код четвертой буквы будет иметь вид

a b b b b а.

Заменяя в слове, которое мы получили из записи нормаль­ного алгоритма, все буквы их кодами, получим (новое) слово в А, являющееся кодом нормального алгоритма.

Условимся говорить, что алгоритм F: а) применим к алгоритму Ф, если он применим к его коду, и б) непри­меним к алгоритму Ф, если он неприменим к его коду. Теперь можно говорить о самоприменимости нормального алгоритма или о его несамоприменимости.

Легко убедиться в том, что нормальный алгоритм в алфавите А, применимый ко всем несамоприменимым и только несамоприменимым алгоритмам, невозможен (не существует). Если бы он существовал, то не мог бы быть самоприменимым, так как он применим только к несамо­применимым алгоритмам. Одновременно он не мог бы быть и несамоприменимым, так как он применим ко всем не­самоприменимым, а значит, и к себе.

Такой нормальный алгоритм, назовем его нормальным экстраалгоритмом в А¹⁵, не существует. Можно доказать, что не существует и нормального экстраалгоритма над А.

He может существовать и какой-нибудь алгоритм из других классов алгоритмов, который был бы применим ко всем несамоприменимым нормальным алгоритмам в Л (его будем называть экстраалгоритмом). Это вытекает из прин­ципа нормализации, который гласит, что в этом случае существовал бы эквивалентный ему нормальный алгоритм над алфавитом А, мы же знаем, что такого нормального алгоритма нет. Но из невозможности указанного экстраалгоритма вытекает ряд интересных следствий.

Оказывается, что невозможен алгоритм, который рас­познавал бы несамоприменимость нормальных алгоритмов. Такой алгоритм, если бы он существовал, должен бы быть применимым к любому нормальному алгоритму и перера­батывать его в некоторое определенное слово, если он несамоприменим. Это определенное слово, если оно полу­чится, будет обозначать ответ «да».

В случае отрицательного ответа может получаться либо какое-нибудь определенное слово, либо любое слово, от­личное от слова, имеющего смысл «да» (естественно счи­тать, что если не «да», то «нет»). В дальнейшем для крат­кости условное слово, обозначающее «да», будем называть словом «да».

Докажем, что алгоритм распознавания несамоприменимости нормальных алгоритмов невозможен. Для этого предположим, что такой алгоритм существует. Назовем его В. Тогда можно построить следующий алгоритм (обо­значим его С):

1. Выполнить алгоритм В. Перейти к следующему пункту.

2. Если получен ответ «да», то перейти к п. 3, иначе перейти к п. 4.

3. Окончить процесс.

4. Перейти к п. 4.

Алгоритм С применим к каждому несамоприменимому нормальному алгоритму (и дает для него результат «да»), а в случае, когда алгоритм несамоприменим (ответ «да» алгоритмом В не получен), его выполнение продолжается бесконечно (он «зацикливается» на п. 4). Но тогда С при­меним ко всем несамоприменимым и только несамопри­менимым нормальным алгоритмам в А. Он, следовательно, является экстраалгоритмом. Значит, разрешимость про­блемы распознавания несамоприменимости привела бы к абсурду. Поэтому указанная проблема неразрешима.

Но теперь ясно, что неразрешима и проблема распозна­вания самоприменимости. В самом деле, если бы существовал алгоритм D, распознающий самоприменимость, то существовал бы и алгоритм, гласящий:

1. Выполнить алгоритм D. Перейти к п. 2.

2. Если получено слово «да», перейти к п. 3, иначе перейти к п. 4.

3. Написать «нет». Конец.

4. Написать «да». Конец.

Но последний алгоритм распознавал бы несамоприме­нимость нормальных алгоритмов в А. Как мы знаем, это невозможно, значит, невозможен и алгоритм D.

Наконец, справедлива теорема:

Проблема распознавания применимости произвольного нормального алгоритма в А к произвольному слову в А неразрешима.

Допустим противное. Пусть существует алгоритм Е, который по заданному алгоритму в A и заданному слову в А распознает, применим ли указанный алгоритм к указан­ному слову.

Но отличить, является ли слово в A кодом заданного нормального алгоритма или не является, нетрудно. Будем считать, что для этого нами построен некоторый алго­ритм G.

Тогда можно построить алгоритм Н:

1. Применить G к заданному слову в А. Перейти к п. 2.

2. Если G дал слово «да», перейти к п. 3, иначе перейти к п. 4.

3. Выполнить алгоритм Е. Конец.

4. Перейти к выполнению п. 4.

Алгоритм Н является алгоритмом, распознающим са­моприменимость нормальных алгоритмов в А. Следова­тельно, он невозможен. Но тогда невозможен и алго­ритм Е, так как предположение о его возможности привело к противоречию. Тем самым теорема доказана.

Читатель видит, что некоторые массовые проблемы, вовсе не имеющие абсурдного характера, неразрешимы потому, что из их разрешимости можно было бы вывести абсурд. Нужно заметать, что неразрешимость (массовой) проблемы распознавания применимости нормального алго­ритма в А к слову в А совсем не означает, что мы вообще не можем распознавать применимость конкретного алго­ритма к конкретному слову или к различным словам. На­пример, нормальный алгоритм «→•» применим к любому слову в Л, и это сразу видно. Любой алгоритм «→•α», где α — буква А, тоже применим к любому слову в Л. Наоборот, алгоритм «→α» неприменим ни к какому слову в А (он порождает бесконечный процесс приписывания букв а слева к преобразуемому слову).

Неразрешимость проблемы распознавания применимо­сти нормального алгоритма к слову в А означает отсут­ствие общего метода, который для любого алгоритма и любого слова в А мог бы дать интересующий нас ответ. Ограничивая класс алгоритмов -или класс обследуемых слов, или и то и другое, можно в некоторых случаях полу­чить разрешимые массовые проблемы.

Не значит ли это, что неразрешимость связана с тем, что исследуемая проблема является «слишком массовой»? Нет, не значит, потому что, вводя ограничения на алгорит­мы или на слова, или и на то и другое, можно все множе­ство одиночных проблем, входящих в состав массовой про­блемы, оставить бесконечным (счетным), имеющим то же кардинальное число, что и исходное множество, но тем не менее получить разрешимую проблему. В некоторых слу­чаях множество одиночных проблем неразрешимой проб­лемы оказывается подмножеством аналогичного множе­ства одиночных проблем, образующих разрешимую про­блему.

Заметим еще, что неразрешимость проблемы примени­мости нормальных алгоритмов легко переносится на любой другой достаточно четко описанный класс алгоритмов, если только для алгоритмов этого класса можно придумать та­кой способ кодирования, при котором коды алгоритмов оказывались бы допустимыми исходными данными для таких алгоритмов.

В частности, для машин Тьюринга неразрешимость проблемы распознавания их применимости к словам в А выражалось бы следующей теоремой:

Невозможна машина Тьюринга с внешним алфавитом А, распознающая применимость произвольной машины Тьюринга с внешним алфавитом А к произвольному слову в А (при условии, что А содержит не менее двух букв).