§ 5. Выводы из антиномий

Открытие антиномий потрясло математику и математи­ков как землетрясение. Их наличие, и при этом в такой области, как теория множеств (и логика, потому что па­радокс брадобрея имеет логический характер), заставило опасаться того, что многие результаты, полученные в ма­тематике, тоже противоречивы. Можно было ожидать, что в дальнейшем будут появляться еще новые парадоксы. Все в математике стало казаться неустойчивым, потому что самый ее фундамент дал трещину.

Нужно сказать, что математики реагировали на земле­трясение по-разному. Одни стали во всем сомневаться. Из­вестный математик Ю. Дедекинд после опубликования анти­номии Рассела на некоторое время прекратил публика­цию своих работ. Математик Г. Фреге кончал в это время издание своего большого труда, подготовке которого он по­святил десять лет жизни. В первой же фразе послесловия он говорит, что фундамент построенного им здания поко­леблен парадоксом Рассела. А. Пуанкаре, о котором мы уже говорили, изменил свое отношение к теории множеств. Были, конечно, и такие математики, которые на открытие антиномий никак не реагировали и бездумно продолжали применять теорию множеств, правда, в той ее части, в которой не обнаружено антиномий. Этих математиков обычно называют последователями классицизма. Но мно­гие математики стали искать пути устранения проти­воречий.

Некоторые полагали, что противоречия возникают бла­годаря дефектам самой логики и стали пересматривать именно ее.

Другие предполагали, что парадоксы возникают из-за некорректности понятия множества, и занялись поиском такого определения множества, которое было бы свободно от внутренних противоречий.

Третьи — получившие название формалистов — при­шли к выводу, что математика должна быть аксиоматизи­рована, а затем все теоремы совершенно формально дока­заны. При этом возник вопрос о формальном языке для математики, таком, чтобы с аксиомами, изложенными на нем, можно было поступать как с определенными комби­нациями символов. Доказательство теорем при этом при­нимало вид переработки исходных аксиом с помощью правил вывода в новые комбинации символов — теоремы. Эти математики разработали новую дисциплину — тео­рию математического вывода, называемую метаматема­тикой .

Четвертые усмотрели причину кризиса математики в том, что ряд математических объектов и методов являются неконструктивными. Разъясним последнюю точку зрения.

В теории множеств допускаются «готовые» бесконечные множества, уже существующие, уже завершенные. Завер­шенное бесконечное множество называют актуально бес­конечным. Расходуя ограниченное количество ресурсов на каждом шаге, имеющем фиксированную длительность, построить такое множество ни реально, ни потенциально нельзя. Проверить, обладают ли все элементы такого множества каким-либо свойством, тоже нельзя, так как никакая ограниченная скорость проверки не дает воз­можности охватить их все. Другое дело, потенциально бесконечное, или потенциально осуществимое множество. Такое множество в каждый момент конечно, но есть прием, позволяющий добавить к нему всегда еще несколько (а потом еще несколько, и еще несколько, и так далее и, зна­чит, сколько угодно) элементов. Анализ элементов такого множества можно провести исследованием правила, которое позволяет получать все новые и новые элементы этого «кон­структивного» множества.

Актуально бесконечное множество, будучи недоступ­но ни построению, ни проверке, обязывает нас слепо до­верять тем правилам логики, с помощью которых мы опре­делили свойства его элементов. Указанные правила логики не основываются ни на каких фактах, доступных проверке, во всяком случае в смысле их правильности для акту­ально бесконечных множеств. Значит, говорят математики, придерживающиеся этой четвертой точки зрения, всей части теории множеств, имеющей деле с актуальной бес­конечностью, доверять нельзя.

Будучи едины в своем отношении к актуальной беско­нечности и в своем требовании конструктивности, сторон­ники четвертой точки зрения неодинаково решают вопрос о том, что допустимо в качестве исходного материала для конструкций. Таким образом, эта точка зрения делится на две группы.

Математики первой группы считают, что главным основанием для выбора какого-либо математического объ­екта в качестве исходного для дальнейших построений является его интуитивная очевидность. Читатель, веро­ятно, согласится, что выбор, опирающийся на интуицию, не может не быть субъективным. То, что интуитивно ясно одному, совершенно неясно другому. Это течение в мате­матике получило название интуиционизма.

Математики второй группы считают, что исходным мате­риалом для построений могут быть лишь наиболее про­стые математические объекты, применение которых оправ­дано всей практикой человечества, причем количество их типов должно быть ограничено. В качестве основного сред­ства получения новых математических объектов должны служить алгоритмы. Это направление получило название конструктивного.

Нужно признать, что ученые всех перечисленных на­правлений внесли большой вклад в сокровищницу матема­тики, получили большое число очень интересных, глу­боких и важных научных результатов. Нужно также подчеркнуть, что наше описание различных точек зрения, возникающих в результате обнаружения антиномий, яв­ляется упрощенным и неточным. Но более подробно осветить этот вопрос автор не имеет возможности.

Из всех указанных направлений мы выделим послед­нее — конструктивное, поскольку оно для обоснования математики приняло на вооружение алгоритмы, и его сто­ронники стали разрабатывать теорию алгоритмов.

Итак, мы ознакомились со второй причиной для раз­работки теории алгоритмов: необходимостью обоснования математики.

На этом автор хотел закончить главу, но вдруг понял, что любознательный читатель, узнав о том, что произошло в математическом мире в начале XX в., несомненно за­хочет узнать — а как же дело обстоит сейчас? Рассыпа­лась ли математика, как карточный домик, или она устоя­ла, преодолела свой кризис?

Конечно, появление антиномий потрясло математику. Верно и то, что кризис математики еще и до сих пор полностью не преодолен. Три четверти столетия — слишком малый для этого срок.

Но в общем-то оснований для отчаяния нет. Хотя тео­рия множеств и не в полном объеме проанализирована и соответствующим образом перестроена, но из нее выде­лена и переработана определенная часть, пока достаточная для обоснования всех остальных математических дисцип­лин. Математики могут пользоваться этой частью теории множеств, избегая, пока что, еще не «разминированных» областей. Сущность антиномий глубоко исследована. Со­временная математика впитала в себя положительные результаты, полученные сторонниками всех перечисленных направлений.

В дальнейшем изложении мы иногда будем пользо­ваться терминологией и понятиями теории множеств. Но, занимаясь алгоритмами, будем пребывать в мире конструк­тивных построений и термины теории множеств применять только для того, чтобы сделать язык более кратким и выразительным.