§ 4. Антиномии

В то время, когда А. Пуанкаре провозгласил, что математика обрела, наконец, надежный фундамент, сама арифметика пошатнулась из-за того, что в теории множеств были обнаружены противоречия (парадоксы), вошедшие в историю математики под названием антиномий.

Парадокс Кантора (обнаружен в 1899 г.). Пусть М — множество всех множеств. Обозначим его кар­динальное число буквой т. В силу теоремы 1 кардиналь­ное число множества его подмножеств 2^т удовлетворяет условию 2^m>m.

С другой стороны, множество М есть множество всех множеств. Его подмножества являются множествами и, значит, являются элементами М, а их множество, следо­вательно, является подмножеством множества М. Тогда в силу теоремы 2 должно иметь место неравенство 2^т ≤ т.

Полученные два неравенства противоречат друг другу. В этом и проявляется парадокс (антиномия) Кантора.

Для создания парадоксальной ситуации мы привлекли к рассмотрению очень своеобразное множество всех мно­жеств. Для него характерно то, что оно является своим собственным элементом, т. е. обладает свойством М М. Возникает законное сомнение — а возможно ли это? Мо­жет быть, таких множеств не бывает? Оказывается, бы­вают и даже среди не очень сложных. Множество коров не может быть своим собственным элементом, потому что оно не корова. Но рассмотрим следующие два примера.

1. Известно, что акционерами могут быть любые юри­дические лица, юридическими же лицами являются от­дельные граждане и акционерные общества. Если некое акционерное общество X скупило часть собственных ак­ций, то X является как множеством акционеров, так и собственным акционером, т. е. удовлетворяет условию Х£Х. Ничего противоречивого или невозможного в этом нет.

2. Для построения еще одного примера представим себе, что у нас есть библиотека, и в ней мы решили создать разделы (т. е. выделить множества книг). Для этого бу­дем для каждого раздела составлять каталог и оформлять его в виде книги. Каждый каталог определяет некоторое множество книг. Очевидно, каталог может содержать в себе данные о самом себе. Такой каталог будем называть самоназывающимся, а каждый каталог, который не содер­жит сведений о самом себе, несамоназывающимся. Любой самоназывающийся каталог, с одной стороны, является книгой, а с другой — определяет множество книг (при абстрактном подходе говорят — является множеством книг), в которое сам входит.

Существование множеств, содержащих самих себя в качестве элементов, еще не парадоксально. Но вместе с некоторыми другими условиями оно может приводить к возникновению парадокса.

Кардинальное число является некоторой количествен­ной характеристикой множества. Введем и мы такую ха­рактеристику для книг и каталогов.

Каждая книга в нашей библиотеке имеет цену, про­ставленную на ее переплете. Будем эту цену считать ко­личественной характеристикой книги. Установим правило, согласно которому оценка каталога производится так: оп­ределяется максимальная цена книги из числа указанных в каталоге и прибавляется к этой величине 1 рубль. Это и будет цена каталога. Если обозначить цены указанных в каталоге книг через y₁, y₂, …, y_i, …, y_n, а цену каталога через х, то можно написать формулу для оценки каталога:

.

Теперь нам легко создать парадоксальную ситуацию.

Парадокс оценки каталогов. Директор библиотеки, узнав о большом числе каталогов в его биб­лиотеке, принял решение создать раздел всех каталогов. Новый каталог был довольно быстро составлен, а вот с определением его цены произошла заминка. Для опре­деления этой цены каталогизатор поступил так: если

то при любом i имеем x≥1+y_i. Но одна из книг, указанных в каталоге, есть сам этот каталог; значит, его цена может быть подставлена в последнюю формулу, что даст нера­венство х^1+х.

Найти такую цену х, которая удовлетворяла бы по­следнему условию, каталогизатор никак не мог. Тогда директор сказал: «Очевидно, каталог всех каталогов такая дорогая вещь, что оценить его невозможно. Давайте лик­видируем в библиотеке раздел каталогов, а каждый ка­талог включим в тот раздел, который в нем описан». К удив­лению директора, после этого сразу все каталоги пере­стали поддаваться оценке.

Как директор разрешил парадокс оценки каталогов? Очень просто. Не математическими, а административными средствами. Он предложил вместо правила

применить правило

(i₀ — номер каталога в нем самом).

Каталогизатор стал возражать, мотивируя тем, что за составление каталога ему положена плата, равная цене, проставляемой на каталоге. Предлагаемое директором из­менение способа оценки каталогов уменьшит его зарабо­ток на столько рублей, сколько он составит каталогов. Но директор не смутился. Он издал приказ, по которому для каталогов была установлена новая оценка

но за каждый составленный каталог составителю пола­гается премия в сумме 1 рубль, после чего цена каталога должна быть увеличена на 1 рубль.

Мы привели здесь новое правило оценки каталогов для того, чтобы показать, что парадокс возникает только При определенных способах приписывания множествам число­вых характеристик.

Парадокс Рассела (открыт в 1902 г.). Если парадокс Кантора возникает для множества, которое со­держит себя в качестве своего элемента, то парадокс Рас­села связан с множествами, не содержащими себя в каче­стве своих элементов. Для удобства будем множество, не содержащее себя в качестве элемента, называть обычным, а множество, содержащее себя в качестве элемента,— не­обычным.

Парадоксальным является множество всех обычных и только обычных множеств. Чтобы в этом убедиться, проверим, является ли оно само обычным или необычным. Сперва предположим, что оно обычное. Но тогда, будучи множеством всех обычных множеств, оно содержит и себя. Стало быть, оно необычное. Предположив, что оно обыч­ное, мы получили противоречие.

Но, может быть, оно необычное, и дело с концом? Про­верим. Если оно необычное, то, будучи множеством только обычных, оно себя в качестве элемента не содержит, а значит, является обычным. Опять противоречие.

Интересно, что парадокс Рассела может возникнуть и для каталогов, которыми мы уже пользовались для по­строения парадокса Кантора.

Парадоксальным оказывается каталог всех несамоназывающихся и только несамоназывающихся каталогов. Он не может быть самоназывающимся (содержать сведе­ния о самом себе), так как является каталогом только не­самоназывающихся каталогов. Точно так же он не может быть и несамоназывающимся, так как при этом не содер­жал бы сведений о себе (несамоназывающемся), но дол­жен был бы содержать.

Парадокс брадобрея. Парадокс Рассела мож­но сформулировать без привлечения понятия множества. Представим себе, что один из солдат оказался по профес­сии парикмахером. Узнав об этом, командир полка при­казал ему брить всех тех и только тех, кто сам себя не бреет. Все было хорошо, пока не пришло время побрить самого себя. Оказалось, что побрить себя нельзя, так как приказано брить только тех, кто себя не бреет; не брить себя тоже нельзя, потому что приказано брить всех, кто себя не бреет.

Не кажется ли читателю, что положение брадобрея по­добно положению юноши, решившего купить костюм, цена которого меньше 50 рублей (потому что это дешевый ко­стюм) и больше 150 рублей (потому что это хороший ко­стюм)? Разница лишь в том, что условия для покупки костюма всегда противоречивы (не зависят от объекта по­купки), а условия, при которых следует брить, не всегда: их противоречивость или непротиворечивость зависит от объекта бритья.