§ 2. Теория множеств

В результате арифметизации многие математические по­нятия выражаются через различные системы натуральных чисел, которые могут быть и бесконечными. Например, произвольное действительное число нельзя представить в виде конечной системы натуральных чисел. Чтобы в этом убедиться, достаточно рассмотреть общеизвестное я (отношение длины окружности к ее диаметру). При очень грубых расчетах берут вместо я десятичное число 3,14. Но при более точных расчетах нужно брать более близкое к нему десятичное число, скажем, 3,141592653, которое, од­нако, тоже не равно самому л. Короче говоря, п можно рас­сматривать только как бесконечное множество натураль­ных чисел, например, как последовательность натураль­ных чисел, соответствующих его цифрам, сохраняющимся при переходе к все более и более точным приближениям.

Разработанная немецким математиком Г. Кантором в 1874—1897 гг. теория множеств оказалась той научной дисциплиной, которая давала единые методы для изуче­ния конечных и бесконечных систем предметов.

Основным объектом этой теории является множество. Говорят, что понятие множества относится к числу про­стейших и может быть только разъяснено, но не опреде­лено. Можно говорить о множестве людей, находящихся в некотором помещении, о множестве звезд в галактике, называемой Млечным Путем, о множестве букв, составля­ющих данную строку, о множестве натуральных чисел и т. п. Предметы, входящие в состав множеств, называются их элементами. Теория множеств изучает те свойства мно­жеств, которые не зависят от свойств их элементов.

На первый взгляд, понятие множества кажется очень естественным и действительно простым. В своей практике люди испокон веков имели дело с различными множествами конкретных, а иногда и абстрактных предметов. Напри­мер, пастухи имели дело со стадами, строители — с ку­чами песка, охотник — с лесами, математики — с беско­нечным рядом натуральных чисел. Но понятие множества в теории множеств столь обще и абстрактно, что из него выводимы все понятия математики.

Здесь автор позволит себе совсем немного пофилософ­ствовать. В результате многовекового естественного отбо­ра нервная система человека и высших животных сложи­лась так, что окружающий мир воспринимается ею как состоящий из отделенных друг от друга предметов. Это свойство нервной системы целесообразно и экономно. Бла­годаря ему животные, располагающие сравнительно про­стой нервной системой, находят пищу и спасаются от на­падений других животных. Это свойство было унаследо­вано и человеком, от его животных предков. Понадобились века и тысячелетия для того, чтобы люди узнали, что в действительности мир более сложен, чем воспринимаемая ими совокупность предметов. В то же время разделение мира на предметы в какой-то мере отражает его объек­тивные закономерности. Наш язык настолько приспособ­лен к выражению различных суждений именно о предме­тах, что автор испытывает определенные затруднения, стараясь объяснить существо понятия «предмет», не поль­зуясь для этого тем же понятием.

Восприятие мира как системы предметов связано с оп­ределенным актом абстрагирования, совершаемым нашей нервной системой бессознательно. Это абстрагирование имеет две стороны: 1) слабые влияния частей предмета на другие предметы (и их определенные части) либо не об­наруживаются (остаются незамеченными, как бы не пере­ступают порога чувствительности нашего организма), либо не учитываются; 2) более сильные влияния частей пред­мета принимаются за влияние всего предмета в целом; при этом они либо суммируются, либо осредняются.

Сказанное можно пояснить вульгарным примером. Встречая определенного человека, я его воспринимаю как некоторый «предмет», влияние которого на меня заклю­чается в том, что он мне что-то говорит и как-то действует, например, пожимает мне руку, если мы друзья, или на­носит мне удар, если мы боксеры на ринге. Но мои чувства не воспринимают многих «частей» этого конкретного «пред­мета», например, наличия в его организме гриппозного ви­руса и влияния этого «предмета» на меня, заключающегося в том, что его органы дыхания выделяют этот вирус, и в результате контакта с этим «предметом» я заражаюсь гриппом.

Абстракцию, в результате которой некоторая часть мира признается нами за отдельный предмет, будем назы­вать абстракцией предмета.

Познавая внутреннее строение предметов и их взаимодействие между собой и другими частями мира, мы каж­дый раз снова и снова совершаем эту же абстракцию, по отношению к более «мелким» частям мира.

Понятие множества связано с новой абстракцией. Объ­единяя предметы в множество и создавая тем самым новый предмет, мы игнорируем все свойства множества, завися­щие от свойств входящих в него предметов, кроме свойств отличаться от всех других множеств, если в нем есть хотя бы один элемент, не содержащийся в другом множестве, или если в нем нет хотя бы одного элемента, присутствую­щего в другом множестве. Далее, мы не учитываем никаких связей между элементами и влияний их друг на друга, сохраняя за ними только свойство быть самостоятельными, различными между собой. Зато считается, что каждый элемент связан с содержащим его множеством отношением включения или, если угодно, связью включения, чего в действительности может и не быть. Это отношение в мате­матике обозначают символом . Запись а А означает, что а является элементом множества А, входит в это мно­жество.

Наряду с игнорированием влияния свойств элементов на свойства множества, теория множеств разрешает при­писывать каким угодно предметам свойство быть элемен­тами некоторого множества. Например, наша точка зрения на звезды как на предметы не дает нам никаких указаний на наличие каких-либо связей между звездами первой величины, которые позволили бы их объединить в один предмет. Тем не менее рассмотрение множества звезд первой величины вполне допустимо. Точно так же не вызывает возражений множество находящихся на земле людей, у которых на правой руке почему-либо нет ука­зательного пальца, или множество собак, у которых от­рублены хвосты, и т. п.

При объединении каких-либо элементов в множество требуется, чтобы эти элементы отличались друг от друга, но вовсе не считается необходимым, чтобы они существо­вали одновременно. Никакого возражения не вызывает, например, множество трех объектов пространства-времени, первым из которых является автор данных строк, суще­ствовавший вчера, вторым — он же сегодня, а третьим — он завтра. Сами множества тоже могут быть элементами новых множеств.

Как видит читатель, абстракция множества совер­шенно отлична от абстракции предмета. На этом наше фи­лософское отступление кончается.

Идея множества была, конечно, известна и до Г. Кан­тора. Г. Кантор нашел способ сравнивать между собой множества. Избранный им способ сравнения двух мно­жеств заключается в установлении взаимно однозначного соответствия между их элементами. Этот способ пред­ставляет собой как бы объединение элементов одного множества в пары с элементами другого множества, причем так, что каждый элемент входит в одну-единственную пару.

Если для множеств А и В удается осуществить вза­имно однозначное соответствие, то по определению эти множества равномощны. Для конечных множеств их рав-номощность означает, что они имеют одинаковые количе­ства элементов.

Равномощность множеств нельзя смешивать с их ра­венством. Множества называются равными, если каждый элемент одного из них является также элементом и другого. Например, если за обеденным столом собрались все члены вашей семьи и нет никого постороннего, то можно ут­верждать, что множество людей, собравшихся за столом, и множество людей, являющихся членами вашей семьи, равны. Конечно, они и равномощны. Но некоторые равно-мощные множества никак нельзя признать равными. К их числу, например, относятся какое-либо множество из пяти людей и какое-либо множество из пяти собак.

Ради удобства вводится понятие пустого множества, т. е. множества, не содержащего ни одного элемента. Все пустые множества считаются равными. Кроме того, вво­дится в рассмотрение одноэлементное множество, состоя­щее из единственного элемента. В результате абстракции множества одноэлементное множество оказывается не тем же самым предметом, каким является его элемент.

Интересно заметить, что еще в 1638 г. Г. Галилей обна­ружил, что можно установить взаимно однозначное соот­ветствие между натуральными числами и их квадратами, если выписывать одну под другой две строки (одновре­менно), включая в первую натуральные числа и тут же под ними во второй записывая квадраты этих чисел. Получается

0 1 2 3 4 5 6 7 8...

0 1 4 9 16 25 36 49 64...

Г. Галилей расценил это как парадокс, демонстриру­ющий нам, что квадратов «столько же», сколько и нату­ральных чисел, в то время как квадратов «гораздо меньше», чем всех натуральных чисел. Г. Кантор усмотрел в примере Г. Галилея равномощность множества натуральных чисел и множества их квадратов.

Из того факта, что все квадраты являются натураль­ными числами, но не все натуральные числа являются квадратами, следует, что множество квадратов является правильной частью¹² множества натуральных чисел. Если N означает множество натуральных чисел, a Q — множе­ство их квадратов, то можно записать Q N, что значит: q - правильная часть множества N. Заметим, что ни один элемент множества не считается его частью, так что знаки и имеют совершенно разный смысл.

Из примера Г. Галилея Г. Кантор сделал вывод, что некоторые множества могут быть равномощны своим пра­вильным частям. Ни одно конечное множество не обладает таким свойством. Оно присуще только бесконечным множе­ствам.

Натуральный ряд в теории множеств принят за эталон некоторого класса бесконечных множеств. Любое множе­ство, равномощное натуральному ряду, называется счетным.

Итак, мы знаем уже конечные множества и счетные множества. Есть ли еще какие-нибудь? Оказывается, есть. Рассмотрим множество всех действительных чисел, каждое из которых больше нуля, но меньше единицы. С помощью специального приема, изобретенного Г. Кан­тором, можно доказать, что множество действительных чисел несчетно. Предположим противное, т. е. что мы сумели установить взаимно однозначное соответствие между действительными числами и натуральными числами. Го­ворят, что нам удалось действительные числа перенумеро­вать. Запишем эти числа в столбец в порядке номеров. Как известно, каждое действительное число из нашего множества имеет конечное либо бесконечное множество знаков после запятой. Можно считать, что количество знаков после запятой в записи каждого действительного числа бесконечно, так как в противном случае мы могли бы справа приписать сколько угодно нулей.

Предположим, что у нас получится следующий столбец действительных чисел:

0,5010203…

0,1020705…

0,0216973…

0,2329793…

0,2332750…

Составим еще одно число (назовем его b), у которого целая часть равна нулю, а i-я (i=1, 2, ...) цифра после запятой либо на единицу больше i-й цифры после запятой i-ro действительного числа, либо, если это невозможно (потому что при сложении получается 10), равна нулю.

Другими словами, каждая цифра числа b получается из цифры, стоящей на диагонали нашей «таблицы цифр», увеличением на 1 (с отниманием 10, если получится дву­значный результат). В нашем конкретном случае мы по­лучим бесконечную строку цифр 0,61208...

Такая строка является записью действительного числа. Это число не равно ни одному из перенумерованных нами действительных чисел, так как его первая цифра после запятой не равна первой цифре после запятой первого числа, его вторая цифра не равна второй цифре второго числа и т. д. От каждого действительного числа это число заведомо отличается хотя бы одной цифрой.

Мы вели рассуждения исходя из условия, что все дей­ствительные числа нашего множества перенумерованы и в порядке номеров расположены в столбец. Но в резуль­тате этих рассуждений мы получили действительное чис­ло Ь, принадлежащее нашему множеству и не равное ни одному из перенумерованных (т. е. не имеющее номера). Мы пришли к противоречию. Остается сделать только один вывод: неверно, что наше множество действительных чисел счетно, оно несчетно.

Множества, равно мощные множеству действительных положительных чисел, не превосходящих единицы, назы­вают множествами мощности континуума, или конти­нуальными.