Глава 3 кризис математики в начале XX века

§ 1. Арифметизация математики

Одна из причин, побудивших заняться теорией алгорит­мов, нам уже известна. Это — «подозрительность» матема­тиков в связи с накоплением упорно не поддающихся решению задач на нахождение алгоритмов. О второй при­чине читатель узнает в данной главе.

Еще древнегреческий математик Пифагор (580—500 гг. до н. э.) ввел ныне общеизвестный дедуктивный метод, сущность которого заключается в том, что из небольшого числа исходных утверждений, называемых аксиомами и принятых без доказательства, все остальные утверждения математики выводятся с помощью правил логики. Первым дошедшим до нас письменным документом, содержащим изложение одной из ветвей математики (геометрии) с помощью дедуктивного метода, является знаменитый труд Евклида (III в. до н. э.) «Начала». С тех пор постепенно математика по своей структуре стала противоположна всем другим естественнонаучным дисциплинам, имеющим эмпирический характер.

До середины XIX столетия никто не сомневался в ис­тинности математических результатов, залогом чего счи­тали истинность аксиом и правильность рассуждений, построенных по законам логики. Исследования Н. И. Лоба­чевского, Л. Бойаи и Б. Римана показали, что аксиомы нельзя считать истинами, не требующими доказательства. Собственно, и до этого одну из аксиом Евклида (пятую, утверждающую, что через точку, лежащую вне прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллель­ную данной) многие математики считали не столь очевид­ной, как другие аксиомы¹⁰. Было предпринято немало по­пыток доказать эту аксиому как теорему, опираясь на другие, но безуспешно. Такую же попытку предпринял и Н. И. Лобачевский. Его идея состояла в том, чтобы за­менить пятую аксиому противоположным ей утвержде­нием¹¹ и прийти в результате этого к противоречию (дока­зательство от противного). Вместо противоречия была получена новая геометрия, известная теперь под названием геометрии Лобачевского.

Упомянутые исследования геометрии интересны сами по себе, но особенно они важны тем, что сокрушили веру в истинность аксиом и заставили задуматься над тем, что же является фундаментом математики. После того как Р. Декарт открыл метод координат, стали думать, что таким фундаментом может служить арифметика. Метод координат позволил геометрические объекты представить с помощью чисел. Например, точку плоскости можно рас­сматривать как пару чисел (являющихся ее координатами при некотором выборе системы координат). Прямую можно определить, указав какие-нибудь не совпадающие между собой две точки, лежащие на этой прямой (две пары чисел), и т. п. При таком подходе все геометрические утверждения могут быть пересказаны в виде утверждений о некоторых системах чисел.

При этом оказалось, что нет надобности отдельно рас­сматривать натуральные числа, целые отрицательные числа, дроби, действительные числа, комплексные числа. Можно свести все вопросы к рассмотрению только натуральных чисел и некоторых отношений между ними. Например, дробь можно рассматривать как совокупность числителя и знаменателя, т. е. как пару натуральных чисел, опреде­ленным образом связанных. Так, дробь 2/3 будет обозна­чаться (2,3), где скобки указывают на наличие упомяну­того отношения. Относительные числа можно тоже рас­сматривать как лары натуральных чисел таких, что раз­ность между первым и вторым элементами пары равна изображаемому этой парой числу. Например, числа 0, 5 и —5 можно представить в виде пар ((2,2)), ((7,2)) и ((3,8)) и т. д. Мы не будем подробнее останавливаться на при­емах, позволяющих любые числа изображать в виде систем натуральных чисел. Заметим только, что эти приемы позволяют и геометрию пересказать в терминах натураль­ных чисел. Такое сведение различных теорий чисел и геометрии к теории натуральных чисел (т. е. арифметике) называется их арифметизацией. Была также доказана возможность полной арифметизации математического ана­лиза и теории функций. Известный французский мате­матик Ж. Пуанкаре на Втором международном матема­тическом конгрессе даже заявил: «Теперь в математике остаются только целые числа и конечные или бесконечные системы целых чисел. Математика полностью арифметизирована».

Возможность арифметизации вовсе не означает отказ от всех других понятий математики, а лишь убеждает нас в том, что фундаментом математики может служить ариф­метика.