Часть I. Основы измерения и количественного описания данных

№	X	Y	Ранги X	Ранги У	d,	d]
5	130	3,7	6	10	_4	16
6	90	4,6	12	3	9	81
7	162	4,0	3	8	-5	25
8	172	4,2	1	6	-5	25
9	120	4,1	8	7	1	1
10	150	3,6	4	11	_7	49
11	170	3,5	2	12	-10	100
12	112	4,8	9	1	8	64
S	-	-	78	78	0	474

Для расчета корреляции г-Спирмена сначала необходимо ранжировать учащихся по той и другой переменной. После ранжирования можно проверить его правиль­ность: сумма рангов должна быть равна N(N+ l)/2. Затем для каждого испытуемо­го надо вычислить разность рангов (сумма разностей рангов должна быть равна 0). После этого для каждого испытуемого вычисляется квадрат разности рангов — ре­зультат приведен в последнем столбце таблицы. Сумма квадратов разностей рангов равна 474. Подставляем известные значения в формулу 6.6:

12(144-1)

Получена умеренная отрицательная связь между успеваемостью по математике и временем решения арифметической задачи.

Отметим: то же значение корреляции было бы получено при использовании фор­мулы r-Пирсона непосредственно к рангам Хи Y. Применяя же формулу г-Пирсо-на к исходным значениям Хи Y, мы получим г_ху = —0,692.

Коэффициент корреляции т-Кендалла

Альтернативу корреляции Спирмена для рангов представляет корреляция т-Кендалла. В основе корреляции, предложенной М. Кендаллом, лежит идея о том, что о направлении связи можно судить, попарно сравнивая между со­бой испытуемых: если у пары испытуемых изменение по Xсовпадает по на­правлению с изменением по У, то это свидетельствует о положительной свя­зи, если не совпадает — то об отрицательной связи.

В примере 6.3 данные испытуемых 1 и 2 свидетельствуют об отрицательной связи — мы видим инверсию: по переменной Ху второго испытуемого ранг больше, а по переменной У— меньше. Данные испытуемых 2 и 3, напротив, демонстрируют со­впадение направления изменения переменных.

Корреляция т-Кендалла есть разность относительных частот совпадений и инверсий при переборе всех пар испытуемых в выборке:

x = P(p)-P(q),

78

Глава 6. Коэффициенты корреляции

где Р(р) и P(q) — относительные частоты, соответственно, совпадений и ин­версий. Всего в выборке численностью УУ существует N(N— l)/2 всех возмож­ных пар испытуемых. Следовательно,

P-Q

(6.7)

где Р — число совпадений, Q — число инверсий, а (Р+ Q) = N(N— l)/2. Формулу 6.7 можно представить и в ином виде:

т = ^-^- = 1 I^_ = _Zi 1. (6,8)

P + Q N(N-l) N(N-l)

При подсчете т-Кендалла «вручную» данные сначала упорядочиваются по переменной X. Затем для каждого испытуемого подсчитывается, сколько раз его ранг по доказывается меньше, чем ранг испытуемых, находящихся ниже. Результат записывается в столбец «Совпадения». Сумма всех значений столб­ца «Совпадения» и есть Р — общее число совпадений, подставляется в фор­мулу 6.8. для вычисления т-Кендалла.

ПРИМЕР 6.5

Вычислим т-Кендалла для данных из примера 6.4. Сначала предварительно упоря­дочиваем испытуемых по переменной X. Затем подсчитываем число совпадений и инверсий для каждого испытуемого, сравнивая по Y его ранг с рангами испытуе­мых, находящихся под ним. Так, для первого испытуемого ранг по Кравен6,и 6 ис­пытуемых, находящихся ниже него, имеют по Y более высокий ранг: в столбец «Совпадения» записываем 6. Для третьего по счету испытуемого ранг по Y равен 8, трое испытуемых ниже него имеют более высокий ранг, значит, в столбец «Совпа­дения» записываем 3, и т. д.

№	Ранги X	Ранги Y	Совпадения	Инверсии
8	1	6	6	5
11	2	12	0	10
7	3	8	3	6
10	4	11	0	8
4	5	9	1	6
5	6	10	0	6
1	7	2	4	1
9	8	7	0	4
12	9	1	3	0
2	10	4	1	1
3	11	5	0	1
6	12	3	0	0
			Р= 18	0 = 48

79