Глава 5. Нормальный закон распределения и его применение

Таким образом:

□ если х, имеет нормальное распределение со средним М и стандартным отклонением о, то z = (х— М_х)/а характеризуется единичным нормаль­ным распределением со средним 0 и стандартным отклонением 1;

П площадь между х, и х₂ в нормальном распределении со средним М_х и стандартным отклонением о равна площади между Z\ = (x_l — М_х)/а и Z2 = (x₂ — М_х)/а в единичном нормальном распределении.

Итак, наиболее важным общим свойством разных кривых нормального распределения является одинаковая доля площади под кривой между одни­ми и теми же двумя значениями признака, выраженными в единицах стан­дартного отклонения.

Полезно помнить, что для любого нормального распределения существу­ют следующие соответствия между диапазонами значений и площадью под кривой:

М±а соответствует«68% (точно — 68,26%) площади;

М±2о соответствует =95% (точно — 95,44%) площади;

М±3а соответствует =100% (точно — 99,72%) площади.

Единичное нормальное распределение устанавливает четкую взаимосвязь стандартного отклонения и относительного количества случаев в генераль­ной совокупности для любого нормального распределения. Например, зная свойства единичного нормального распределения, мы можем ответить на сле­дующие вопросы. Какая доля генеральной совокупности имеет выраженность свойства от — \о до +1о? Или какова вероятность того, что случайно выбран­ный представитель генеральной совокупности будет иметь выраженность свойства, на За превышающую среднее значение? В первом случае ответом будет 68,26% всей генеральной совокупности, так как от — 1 до +1 содержится 0,6826 площади единичного нормального распределения. Во втором случае ответ: (100-99,72)/2 = 0,14%.

Полезно знать, что если распределение является нормальным, то:

90% всех случаев располагается в диапазоне значений М+ 1,64а;

95% всех случаев располагается в диапазоне значений М± 1,96с;

99% всех случаев располагается в диапазоне значений М+ 2,58с.

Существует специальная таблица, позволяющая определять площадь под кривой справа от любого положительного z (приложение 1). Пользуясь ею, можно определить вероятность встречаемости значений признака из любого диапазона. Это широко используется при интерпретации данных тестирования.

ПРИМЕРЫ

1. Значение IQ по шкале Векслера (Л/= 100; а = 15) некоторого тестируемого рав­но 125. Вопрос о степени выраженности интеллекта у данного индивидуума пе­реформулируем следующим образом: насколько часто или редко встречаются зна­чения IQ ниже или выше 125? Решение. Перейдем от шкалы IQ к единицам

53

Часть I. Основы измерения и количественного описания данных

стандартного отклонения (г-значениям): г=(125-100)/15= 1,66. По таблице из приложения 1 находим площадь под кривой справа от этого значения, она рав­на 0,0485. Это значит, что IQ 125 и выше встречается довольно редко — менее, чем в 5% случаев.

2. Какова вероятность того, что случайно выбранный человек будет иметь 1Q по шкале Векслера в диапазоне от 100 до 120? Решение. В единицах стандартного отклонения Zi =0,0; Zi ⁼ 1,66. Площадь справа от Z\ —0,5, справа от Zj — пример­но 0,0918, следовательно, площадь между Z\ и г₂ равна 0,5-0,0918 = 0,4082. Та­ким образом, вероятность того, что случайно выбранный человек будет иметь IQ в диапазоне от 100 до 120, равна примерно 0,41.

Несмотря на исходный постулат, в соответствии с которым свойства в ге­неральной совокупности имеют нормальное распределение, реальные дан­ные, полученные на выборке, нечасто распределены нормально. Более того, разработано множество методов, позволяющих анализировать данные без всякого предположения о характере их распределения как в выборке, так и в генеральной совокупности. Эти обстоятельства иногда приводят к ложному убеждению, что нормальное распределение — пустая математическая аб­стракция, не имеющая отношения к психологии. Тем не менее, как мы уви­дим в дальнейшем, можно указать по крайней мере на три важных аспекта применения нормального распределения:

1. Разработка тестовых шкал.

2. Проверка нормальности выборочного распределения для принятия ре­ шения о том, в какой шкале измерен признак — в метрической или по­ рядковой.

3. Статистическая проверка гипотез, в частности — при определении риска принятия неверного решения.

РАЗРАБОТКА ТЕСТОВЫХ ШКАЛ

Тестовые шкалы разрабатываются для того, чтобы оценить индивидуаль­ный результат тестирования путем сопоставления его с тестовыми нормами, полученными на выборке стандартизации. Выборка стандартизации специаль­но формируется для разработки тестовой шкалы — она должна быть репре­зентативна генеральной совокупности, для которой планируется применять данный тест. Впоследствии при тестировании предполагается, что и тестиру­емый, и выборка стандартизации принадлежат одной и той же генеральной совокупности.

Исходным принципом при разработке тестовой шкалы является предпо­ложение о том, что измеряемое свойство распределено в генеральной сово­купности в соответствии с нормальным законом. Соответственно, измерение в тестовой шкале данного свойства на выборке стандартизации также должно обеспечивать нормальное распределение. Если это так, то тестовая шкала яв-

54