4)Определение некоррелированности случайных процессов

Два случайных процесса называют взаимно некоррелированными, если их взаимная ковариационная функция тождественно равна нулю для любых моментов времени t₁, t₂. Тогда взаимная корреляционная функция «разваливается» на произведение средних, это видно из определения взаимной ковариационной функции. Из статистической независимости случайных процессов следует их некоррелированность, обратное в общем случае неверно, поясним:

однако из утверждения

не следует утверждение W_xy(x,t₁;y, t₂)= W_x(x,t₁) W_y(y, t₂).

20 Понятия стационарности, эргодичности, гауссовости совокупности двух случайных процессов. Разобрать пример двух стационарных, но нестационарно связанных случайных процессов

Свойство стационарности и эргодичности легко распространяется и на совокупности случайных процессов.

Определение: Совокупность случайных процессов {x(t), y(t)} называется стационарной в строгом смысле, если их совместная плотность вероятности любого n+n-го порядка инвариантна к сдвигу во времени.

Определение: Совокупность случайных процессов {x(t), y(t)} называется стационарной в широком смысле, если их средние значения постоянны и все совместные корреляционные и автокорреляционные функции зависят только от разности времён, например:

Автокорреляционная функция в этом случае является чётной относительно , покажем:

, (2.7.7)

совместная корреляционная функция обладает похожим свойством:

. (2.7.8)

Совокупность {X(t),Y(t)} называется гауссовой, если случайные процессы X(t),Y(t) имеют совместное гауссовское распределение. Вспомним, что вектор есть матрица-столбец :

У нас есть вектора наблюдения, составим объедененный вектор:

О бъеденный вектор имеет гауссовское распределение если вектора X(t),Y(t)– образуют совместное гауссовское распределениеВообще говоря: по отдельности они могут быть гауссовыми, а совокупность не гауссовское распределение:

для n=1, n’=1

задано W(x,y) для

Далее, по умолчанию стационарность будет пониматься, как стационарность в широком смысле.

Вообще говоря, если два случайных процесса стационарны по отдельности, то они могут и не образовывать взаимно стационарную совокупность. Рассмотрим частный случай: пусть даны два случайных процесса {x(t), y(t)} такие, что:

где (t),(t) – два стационарных случайных процесса с нулевыми средними, причём они некоррелированные между собой и выполняется: K_[]=K_[]=K[]. Покажем, что x(t), y(t) – стационарны по отдельности, но образуют взаимно нестационарную совокупность: