2.1.2. Потенциальное поле точечного заряда,
совокупности точечных зарядов, распределенного заряда
Напряженность
поля точечного заряда
определяется из выражения
.
Найдем потенциал
произвольной точки поля
по формуле (2.7) интегрированием от
бесконечности до
,
считая
. (2.9)
Линии поля расходятся от заряда по радиусам. Эквипотенциальными поверхностями является семейство концентрических сфер.
Если поле создано совокупностью точечных зарядов, то
. (2.10)
В случае, когда
заряды распределены в объеме
непрерывно
, (2.11)
где
– расстояние от точки наблюдения до
произвольного элемента объема
.
При этом интегрирование производится
по всему объему, где имеются заряды, то
есть по координатам точек источников.
2.1.3. Граничные условия
Для решения задач
электростатики необходимо знать условия
на границе раздела диэлектрик-проводник.
Внутри проводника электрическое поле
отсутствует, так как в противном случае
в нем протекал бы ток
.
Следовательно, в электростатике на
границе любого проводника будут следующие
граничные условия:
, 
,
где
– поверхностная плотность заряда.
В соответствии с выражением , граничные условия для потенциала:
, 
.
Поверхность проводника эквипотенциальна. Таким образом, поверхностная плотность заряда пропорциональна нормальной производной от потенциала у его поверхности.
На границе раздела двух диэлектриков граничные условия имеют вид:
, 
.
2.1.4. Уравнения Пуассона и Лапласа
Объединяя уравнения
и
,
получаем
. (2.12)
Уравнение (2.12) носит название уравнения Пуассона. Другая форма записи этого уравнения следующая
, (2.13)
где
– символический оператор набла, имеющий,
например, для прямоугольной системы
координат вид
.
Тогда в прямоугольной системе координат уравнение Пуассона записывается следующим образом
. (2.14)
В области, свободной от зарядов, потенциал поля подчиняется уравнению Лапласа, являющемуся частным случаем уравнений (2.12) или (2.13), (2.14):
,
,
. (2.15)
Уравнения Пуассона и Лапласа определяют дифференциальные свойства потенциала в каждой точке поля.
Решение уравнений Лапласа и Пуассона требует задания граничных условий. Эти граничные условия выражаются аналитически наиболее просто в том случае, когда форма граничных поверхностей соответствует форме координатных поверхностей. Поэтому выбранная система координат должна быть адекватна исследуемой задаче. Так при расчете поля между плоскостями удобна, очевидно, прямоугольная система координат. В случае изучения поля с осевой симметрией преимущества имеет цилиндрическая система координат, в случае симметрии относительно центра – сферическая.
В качестве примера рассчитаем поле плоского конденсатора.
П
усть
находящиеся в однородной среде
параллельные пластины
и
имеют соответственно потенциалы
,
.
Расстояние между пластинами
(рисунок 2.1). Выбираем расположение
координатных осей так, как это показано
на рисунке. В рассматриваемой задаче
поле зависит только от координаты
,
поэтому, сохраняя в уравнении Лапласа
(2.15) только первое слагаемое, получаем
.
Решение этого уравнения имеет вид
.
Произвольные
постоянные
и
определяются из граничных условий:
при 
,
при 
.
В соответствии с этим, имеем:
, 
.
Таким образом,
.
Потенциал изменяется линейно с изменением . Напряженность поля определяется как градиент потенциала
,
то есть,
и 
.
Напряженность поля постоянна во всех точках поля и направлена в сторону, противоположную оси . Учитывая, что у поверхности проводника
,
имеем для пластины
,
для пластины
.
Заряд распределен
на пластинах равномерно. Общий заряд
на площадке величиной
равен
.
Следовательно, емкость плоского конденсатора равна
.
Аналогично рассчитывается поле заряженной сферы, заряженного круглого цилиндра при использовании уравнения Лапласа в сферической и цилиндрической системах координат соответственно.