27

2. Статические и стационарные поля

Стационарными называются поля, неизменные во времени. Они подчиняются общим законам электромагнетизма, но в частном случае, когда все величины постоянны во времени (при этом ).

Запишем уравнения Максвелла в дифференциальной форме для этого случая

, ,

, ,

, . (2.1)

Стороннюю силу представим, как постоянную напряженность электрического поля , которая наряду с собственным полем создает в среде электрический ток в соответствии с законом Ома

.

Сравнив уравнения (2.1) с полной системой уравнений Максвелла, заметим, что обоюдная связь между электрическим и магнитным полями утрачена. Магнитное поле не влияет на электрическое. Однако электрическое поле создает в проводящей среде токи, непрерывно связанные с магнитным полем.

2.1. Электростатическое поле

2.1.1. Скалярный электростатический потенциал

Электростатическое поле связано с системой неподвижных электрических зарядов. Оно является частным случаем стационарного поля при и может, следовательно, существовать только в среде, проводимость которой равна нулю.

Уравнения Максвелла для электростатики имеют вид:

, , . (2.2)

Из равенства вытекает, что электростатическое поле - бизвихревое. Всякое безвихревое поле является потенциальным и может быть представлено в виде градиента некоторой скалярной функции , для которого справедливо тождество , известное из векторного анализа.

Выразим напряженность электростатического поля через градиент скалярного электростатического потенциала , взятый с обратным знаком, то есть

. (2.3)

Знак минус означает, что вектор направлен от точки с более высоким потенциалом к точке с более низким потенциалом. Градиентом скалярной функции называется вектор, направленный в сторону быстрейшего увеличения и равный по величине производной по указанному направлению. Производная по любому направлению равна проекции градиента на это направление

. (2.4)

В прямоугольной системе координат можно представить в виде геометрической суммы проекций на соответствующие оси

. (2.5)

Из (2.4) следует

. (2.6)

Интегрируя от точки 1 до точки 2, получаем с помощью выражений (2.3) и (2.6)

, . (2.7)

Разность потенциалов между двумя точками равна линейному интегралу от вектора , взятому с обратным знаком, между этими точками. Из формулы (2.7) следует, что разность потенциалов не зависит от пути интегрирования. Выражения (2.3) и (2.7) позволяют перейти от описания электростатического поля с помощью вектора к описанию поля при помощи функции и обратно. Оба описания поля равноправны. Однако оперировать со скалярной функцией проще, чем с векторной. В отличие от напряженности поля, являющейся функцией точки, потенциал определен лишь разностью своих значений в двух точках. Можно, однако, записать

.

Следовательно, потенциал определяется с точностью до постоянной . Значение может быть выбрано произвольно. В связи с этим целесообразно ввести некоторую точку и потенциалу ее условно придать нулевое значение. Обычно за точку нулевого потенциала принимают точку, находящуюся в бесконечности. При инженерном анализе работы отдельных электрических устройств за нулевой потенциал часто принимают потенциал Земли, больших металлических масс, экранов и т.д.

Потенциал какой-либо точки численно равен работе по перемещению единичного положительного заряда из бесконечности в данную точку

. (2.8)

Скалярные поля изображаются поверхностями уровня, для потенциала эта поверхность называется эквипотенциальной и соответствует геометрическому месту точек, где . Градиент скалярной функции по определению всегда перпендикулярен поверхности уровня, поэтому в электростатическом поле линии вектора перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.