Вопрос 14. Ряды Маклорена и Тейлора.

Ряд Маклорена

Предположим, что функция f(x), определенная и n раз дифференцируемая в окрестности точки x=0, может быть представлена в виде суммы степенного ряда или, другими словами, может быть разложена в степенной ряд:

Найдем соответствующие коэффициенты ряда через f(x). Найдем производные функции f(x), почленно дифференцируя ряд n раз:

Подставляя в полученные выражения x=0, получаем:

Отсюда получаем:

Подставляем полученные значения коэффициентов c и получаем ряд Маклорена:

Следует отметить, что не все функции могут быть разложены в ряд Маклорена. Может оказаться, что ряд Маклорена, составленный формально для функции f(x), является сходящимся или расходящимся не к функции f(x).

Теорема

Чтобы ряд Маклорена сходился к функции f(x), необходимо и достаточно, чтобы при остаток ряда стремился к нулю для всех значений x из интервала сходимости ряда:

Если функция может быть разложена в ряд Маклорена, то это разложение единственно.

Ряд Тейлора

Ряд Маклорена – частный случай ряда Тейлора:

Вопрос 15. Пространство элементарных событий. Статистическое, классическое и геометрическое определения вероятности.

Пространство элементарных событий

Событие – это всякий факт, который в результате опыт может произойти или не произойти.

A, B, C… - обозначения событий.

Будем различать составные и элементарные события, причем составное включает в себя массу элементарных событий. Помимо этого, будем по определению полагать, что каждый неразложимый далее исход опыта представляется одним и только одним элементарным событием.

Пространство элементарных событий – это совокупность всех элементарных событий, связанных с данным опытом.

Введем несколько вспомогательных понятий:

1. Полная группа событий – это несколько событий опыта, если в результате него должно произойти хотя бы одно событие.

2. Несовместные события – такие события, если никакие два из них не могут произойти одновременно

3. Равновозможные события – такие события, если по условиям опыта есть основание считать, что ни одно из этих событий не является объективно наиболее возможным, чем другое.

4. Случай – группа событий со всеми тремя вышеупомянутыми свойствами.

Случай является благоприятным к событию, если его появление ведет появление этого события.

При выполнении различных исследований возможно, что при выполнении одного и того же комплекса действий событие:

1. выполняется всегда

2. не выполняется никогда

3. выполняется иногда (говорят, что такое событие случайно по отношению к данному комплексу условий)

Статистическое, классическое и геометрическое определения вероятности

Пусть проводится достаточно большое количество опытов n.

Пусть m(A) – количество опытов, в которых произошло событие A.

Частота события A в серии опытов есть отношение:

и эта формула является статистическим определением вероятности.

Если с увеличением n частота события лишь слегка колеблется у некоторого постоянного числа, то это число – вероятность события A в данной серии испытаний.

Если опыт по своей структуре является схемой случаев, то есть обладает симметрией исходов (они равновозможные и взаимоисключающие), то вероятность события представляется формулой:

и это - классическое определение вероятности, где m – благоприятные исходы, n – общее количество исходов.

Все вышеприведенные рассуждения касались ситуаций, когда количество исходов опыта конечно. В случае, когда невозможно подсчитать никакое количество исходов, за естественную меру измерения вероятности события берут фигуры.

Представим себе график с областью исходов G и областью благоприятных исходов g. В данном случае вероятность попадания g в область G вычисляется соотношением:

и это – геометрическое определение вероятности, где mes – это мера измерения вероятности.

Мерой измерения вероятности на прямой является длина, на плоскости – площадь, в трехмерном пространстве – объем.

G

g