Вопрос 8. Числовой ряд: основные понятия, свойства сходящихся рядов.

Основные понятия

Числовой ряд – бесконечная последовательность чисел u₁, u₂ … u_n, соединенная знаком сложения, имеющая вид:

Числа u₁, u₂ … u_n называются членами ряда, а член u_n – общим или n-ным членом ряда.

Ряд (9) считается заданным, если известен его общий член u_n, то есть задана функция f(x) натурального аргумента.

Общий член ряда составляет закон для вычисления всех членов ряда.

Пример:

Ряд с таким общим членом имеет вид

Сумма n первых членов ряда называется n-ной частичной суммой ряда.

Свойства сходящихся рядов

Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм. Число S называется суммой ряда.

Таким образом, можно записать:

Если конечного предела последовательности частичных сумм не существует, то ряд называется расходящимся.

Ключевые свойства сходящихся рядов:

1. Если ряд сходится и имеет сумму S, то ряд, составленный путем умножения каждого члена на число α, также сходится и имеет сумму αS.

2. Если ряды сходятся и их суммы равны S₁ и S₂, то ряд, составленный путем сложения соответствующих членов этих рядов, также сходится и имеет сумму S₁ и S₂.

3. Если ряд сходится, то сходится и ряд, полученный их данного путем отбрасывания или добавления конечного числа членов. Ряд, полученный их исходного путем отбрасывания первых n членов, называется n-ным остатком ряда.

4. Для того, чтобы ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы при остаток ряда стремился к нулю, то есть

Вопрос 9. Знакоположительные ряды: необходимый признак сходимости, признак сравнения, предельный признак сравнения.

Знакоположительный ряд – ряд, имеющий положительные члены. (!!!)

Необходимый признак сходимости

Теорема

Если ряд сходится, то предел его общего члена u_n при равен нулю.

Обратное неверно!

Следствие

Если предел общего члена не равен нулю, то ряд расходится.

Таким образом, рассмотренная теорема выражает лишь необходимый, но не достаточный признак сходимости ряда. Если предел общего члена равен нулю, это еще не значит, что ряд сходится.

Признак сравнения

Теорема

Пусть даны два ряда с положительными членами и , причем члены первого ряда не превосходят членов второго ряда, то есть при любом n справедливо

Тогда:

1. если сходится второй ряд, то сходится первый

2. если расходится первый ряд, то расходится второй

Для применения этой теоремы необходимо знать сходимость и расходимость исследуемых рядов.

Эталонные ряды, часто используемые для сравнения:

1. геометрический ряд cходится при |q|<1, расходится при |q| 1

2. гармонический ряд расходится всегда

3. обобщенный гармонический ряд сходится, если >1, расходится, если 1

Предельный признак сравнения

Теорема

Пусть есть два знакоположительных ряда u_n и v_n. Если существует конечный предел отношения их общих членов , то ряды сходятся или расходятся одновременно, то есть ведут себя одинаково.

Пример:

Решение

Сравним его с гармоническим рядом, то есть найдем предел отношения их общих членов.

не равно нулю, гармонический ряд расходится, значит, исходный ряд также расходится.

Вопрос 10. Знакоположительные ряды: признак Даламбера, признак Коши, интегральный признак.

Признак Даламбера

Теорема

Пусть для ряда с положительными членами существует предел отношения (n+1)-го члена к n-ному члену:

Тогда:

1. если p<1, то ряд сходится

2. если p>1, то ряд расходится

3. если p=1, то вопрос о сходимости ряда остается нерешенным, правило не работает

Признак Коши

Теорема

Пусть для ряда с положительными членами существует предел корня n-й степени из общего члена:

Тогда:

4. если p<1, то ряд сходится

5. если p>1, то ряд расходится

6. если p=1, то вопрос о сходимости ряда остается нерешенным, правило не работает

Интегральный признак сходимости

Теорема

Пусть для ряда, члены которого положительны и не возрастают, то есть , а функция f(x), определенная при x 1, непрерывная и невозрастающая, то есть

Тогда для сходимости исходного ряда необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл: