Вопрос 5. Линейные однородные оду второго порядка с постоянными коэффициентами: характеристическое уравнение, теорема о видах общего решения.

Характеристическое уравнение

Для нахождения общего решения уравнения y’’ + py’ + qy = 0 (6) будем искать два его частных решения y₁ и y₂.

Нужно искать решение уравнения в форме:

(7)

где α – это некое действительное число, если такое существует.

Так как , то функция (7) является решением уравнения (6), если – корень уравнения

Таким образом, характеристическое уравнение имеет вид:

(8)

Описание решений уравнения зависит от того, имеет ли соответствующее характеристическое уравнение (8) два различных корня, один корень или не имеет действительных корней.

Теорема о видах общего решения характеристического уравнения

Пусть характеристическое уравнение (8) имеет действительные корни и , причем они не равны друг другу. Тогда общее решение уравнения (6) имеет вид:

где C₁ и C₂ – некоторые числа

Если характеристическое уравнение (8) имеет один корень кратности 2, то общее решение уравнения (6) имеет вид:

где C₁ и C₂ – некоторые числа

Если характеристическое уравнение (8) не имеет действительных корней, то есть имеет комплексные корни вида , то общее решение уравнения (6) имеет вид:

где C₁ и C₂ – некоторые числа, а ,

Вопрос 6. Линейные неоднородные оду второго порядка с постоянными коэффициентами: метод вариации произвольных постоянных.

Метод вариации произвольных переменных

Перейдем к решению линейного неоднородного уравнения y’’ + py’ + qy = r(x) (5) с постоянными коэффициентами. Данное уравнение может быть решено методом вариации произвольных постоянных.

Сначала находится общее решение y = C₁y₁ + C₂y₂ однородного уравнения y’’ + py’ + qy = 0 (6), имеющего, как видно, одинаковую с (5) левую часть. Затем решение исходного уравнения ищется в виде y = C₁(x)y₁ + C₂(x)y₂, то есть предполагается, что постоянные C₁ и C₂ являются функциями независимой переменной x. При этом данные функции C₁(x) и C₂(x) могут быть найдены как решения системы:

Пример:

Решить уравнение y’’ – 3y’ – 2y = e^x

Решение

Приравниваем левую часть к нулю, решаем характеристическое уравнение и находим общее решение:

Полагая теперь, что постоянные числа C₁ и C₂ – это функции переменной x, определяем первые производные этих функции, решая систему:

Находим C₁’ = -1 и C₂’ = e^-x

Полученные дифференциальные уравнения являются уравнениями с разделяющимися переменными. Интегрируем их и получаем:

C₁ = -x + C₃

C₂ = -e^-x + C₄

Подставляем эти значения в общее решение характеристического уравнения:

Вопрос 7. Линейные неоднородные оду второго порядка с постоянными коэффициентами: теорема об общем решении, нахождение частного решения при различных видах правой части.

Теорема об общем решении

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

То есть, сначала, как и в методе вариации произвольных постоянных, находится общее решение однородного дифференциального уравнения, а затем отыскивается частное решение неоднородного. При этом вид частного решения устанавливается по виду правой части, и задача сводится к отысканию коэффициентов этого частного решения.

Нахождение частного решения при различных видах правой части

Рассмотрим частные случаи.

1. Пусть правая часть уравнения является многочленом степени m и имеет вид:

r(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + … + a_mx^m

Тогда частное решение уравнения (5) следует искать в виде:

u(x) = x^k(C₀ + C₁x + … + C_mx^m),

то есть в виде произведения многочлена той же степени m на x^k, где:

k=0, если 0 – не корень характеристического уравнения (8)

k=1, если 0 – один из корней характеристического уравнения (8)

k=2, если 0 – корень кратности два характеристического уравнения (8), то есть оба корня уравнения – нули

2) Пусть правая часть уравнения имеет вид:

,

где a и A – некоторые числа.

Тогда частное решение уравнения (5) следует искать в виде:

,

где показатель степени k:

1. равен 0, если число a – не корень характеристического уравнения

2. равен 1, если число a – один из корней характеристического уравнения

3. равен 2, если число a – корень кратности 2 характеристического уравнения

3) Пусть правая часть уравнения имеет вид:

,

где A, B и b – некоторые действительные числа, причем b не равно 0.

Тогда частное решение уравнения (5) следует искать в виде:

,

где показатель степени k:

1. равен 0, если ib – не корень характеристического уравнения

2. равен 1, если ib – корень характеристического уравнения

Дополнение 1

Рассмотренные случаи являются частными случаями функции вида:

r ,

где f(x) и g(x) – многочлены с действительными коэффициентами, a и b – некоторые действительные числа.

Тогда частное решение уравнения (5) следует искать в виде:

,

где v(x) и w(x) – многочлены, степень m которых равна наибольшей из степеней многочленов f(x) и g(x) исходного уравнения.

Дополнение 2

Если правая часть r(x) уравнения (5) является суммой многочленов, то есть r(x) = r₁(x) + r₂(x) + … + r_n(x), то для нахождения частного решения такого уравнения достаточно сложить частные решения ui(x) уравнений y'' + py' + qy = r(x), где i = 1; 2 … n,

то есть u(x) = u₁(x) + u₂(x) + … u_n(x)