Вопрос 3. Оду второго порядка, допускающие понижение порядка.

В некоторых случаях решение дифференциального уравнения второго порядка может быть сведено к последовательному решению двух дифференциальных уравнений первого порядка – тогда говорят, что данное дифференциальное уравнение допускает понижение порядка.

Дифференциальное уравнение решается последовательным интегрированием, если имеет вид:

y’’ = f(x)

 Если в запись уравнения не входит искомая функция y(x), то есть имеет вид G(x; y’; y’’) = 0, то такое уравнение можно решить, найдя сначала вспомогательную функцию y’ = z.

Пример:

Решить уравнение xy’’ + y’ = 0

Решение

Положим y' = z, то есть y’’ = z’, тогда исходное уравнение принимает вид xz’ + z = 0

Отсюда = -

Интегрируя полученное выражение, приходим к решению z = C / x

Возвращаясь к первоначальной функции, получаем уравнение y’ = C / x, то есть d y = C d x / x

Решая уравнение, находим ответ y = C ln |x| + C₁

 Если в запись уравнения не входит переменная x, то есть имеет вид G(y; y’; y’’) = 0, то порядок уравнения можно понизить, если за независимую переменную взять порядок уравнения можно понизить, если за независимую переменную взять y, а за неизвестную функцию: z = z(y) = y’

Пример:

Решить уравнение 2yy’’ = (y’)² + 1

Решение

Положим z = z(y) = y’, тогда y’’ = = = z’z, а исходно уравнение принимает вид:

2yzz’ = z² + 1

Данное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными:

Выполняя интегрирование, получаем:

ln (z² + 1) = ln |y| + C, то есть z = +- (Cy – 1)

Так как z = y’, то приходим к следующему уравнению относительно функции y(x):

Выполняя интегрирование, получаем:

Вопрос 4. Линейные однородные оду второго порядка с постоянными коэффициентами: определитель Вронского, теорема о структуре общего решения.

Определитель Вронского

Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

y’’ + py’ + qy = r(x) (5),

где p и q – некоторые действительные числа, а r(x) – некоторая функция

Если правая часть уравнения равна нулю, то такое уравнение – линейное однородное, если нет – линейное неоднородное:

y’’ + py’ + qy = 0 (6)

Можно доказать, что существует единственное решение уравнения (5), удовлетворяющее начальным условиям y(x₀) = z₁, y’(x₀) = z₂, где x₀, z₁ и z₂ – некоторые действительные числа.

Сначала рассмотрим решение линейного однородного уравнения.

Напомним, что линейной комбинацией двух функций y₁(x) и y₂(x) с коэффициентами C₁ и C₂ называется выражение вида C₁y₁(x) + C₂y₂(x)

Если линейная комбинация функций C₁y₁(x) + C₂y₂(x) равна нулевой функции только тогда, когда коэффициенты C₁ и C₂ равны нулю, то функции y₁ и y₂ – линейно независимые, если нет – линейно зависимые.

Определитель Вронского имеет следующий вид:

Теорема 1

Чтобы решения y₁ и y₂ уравнения y’’ + py’ + qy = 0 были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы их определитель Вронского не обращался в ноль.

Доказательство теоремы 1

Пусть y₁ и y₂ – линейно зависимые. Тогда определитель Вронского равен:

Теорема о структуре общего решения

Если y₁(x) и y₂(x) – линейно независимые частные решения уравнения y’’ + py’ + qy = 0, то общее решение этого уравнения является линейной комбинацией этих частных решений, то есть имеет вид y = C₁y₁ + C₂y₂ для произвольных действительных чисел C₁ и C₂.