Вопрос 2. Оду с разделяющимися переменными, однородные и линейные оду первого порядка.

Дифференциальное уравнение (1) первого порядка называется неполным, если функция f явно зависит либо только от x, либо только от y.

ОДУ с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде:

или

M(x)N(y)dx + P(x)Q(y)dy = 0,

где f(x), M, N - функции переменной x, а g(y), N, Q – функции переменной y

Для решения такого уравнения надо преобразовать его к виду, в котором дифференциал функции (часть приращения функции, равная произведению производной функции на приращение независимой переменной - короче, d y = f’(x)x) и функции переменной x окажутся в одной части неравенства, а переменной y – в другой. После этого следует проинтегрировать обе части полученного равенства. Так, из уравнения (3) следует, что:

Отсюда , и интегрирование приводит к решению данного уравнения.

Пример:

Решить уравнение

Решение

Делим обе части уравнения на выражение (где x не равен 0). Интегрируя новое выражение, получаем:

Из уравнения видно, что теперь в левой части присутствует только переменная x, а в правой – только переменная y, что соответствует алгоритму решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

Отсюда выражение принимает вид ln |x| = + C, или же, по правилу нахождения натурального логарифма,

Однородные уравнения

Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если оно может быть представлено в виде:

(4),

где g – функция одной переменной

Введение вспомогательной переменной z = y/x позволяет свести однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример:

Решить уравнение

Решение

Вводим замену , получаем

Отсюда ln |1+z| = ln |x| + C, то есть |1+z| = e^C|x|

Возвращаем первоначальные переменные, то есть 1 + = e^Cx, откуда y = (e^Cx – 1)x

Линейные ОДУ первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно имеет вид:

y’ + f(x)y = g(x), где f(x) и g(x) – некоторые непрерывные функции переменной x

Если правая часть уравнения равна нулю, уравнение называется линейным однородным, если нет – линейным неоднородным.

Уравнение такого типа решается заменой y = u(x) v(x), где одну функцию можно выбрать произвольно. Так как y’ = u’v + uv’, отсюда:

vu’ + u(v’ + f(x)v) = g(x)

Для начала ищем какое-либо частное решение для v = v(x), а для этого приравниваем выражение в скобках к нулю:

v’ + f(x)v = 0

Исходя из этого, vu’ = g(x), то есть решение линейного уравнения сводится к решению двух простейших уравнений с разделяющимися переменными.

Пример:

Решить уравнение xy’ – 2y = 2x⁴

Перед производной функции не должно быть никаких переменных, поэтому делим все уравнение на x, получив линейное неоднородное уравнение:

y’ – = 2x³

Пусть y = uv, то есть y’ = u’v + uv’, тогда уравнение примет вид:

u’v + uv’ – 2 = 2x³

u’v + u(v’ – 2 )= 2x³

Следуя алгоритму решения, приводим выражение в скобках к нулю:

2

=

Интегрируем получившееся уравнение с разделяющимися переменными и получаем v = x²

При данном значении v исходное уравнение примет вид u’x² = 2x³. Решая данное уравнение с разделяющимися переменными, получаем u = x² + C. Тогда окончательно находим

y = uv = (x² + C)x² = x⁴ + Cx²