34. Теория двойственности: построение пары симметричных двойственных задач, теоремы двойственности.

Построим двойственную ей задачу по следующим правилам.

Количество переменных в двойственной задаче равно количеству неравенств в исходной.

Матрица коэффициентов двойственной задачи является транспонированной к матрице коэффициентов исходной.

Столбец свободных членов исходной задачи является строкой коэффициентов для целевой функции двойственной. Целевая функция в одной задаче максимизируется, в другой минимизируется.

Утверждения на которых базируется теория двойственности:

Теорема 1 (первая теорема двойственности).

Если одна из пары двойственных задач I и II разрешима, то разрешима и другая, причем значения целевых функций на оптимальных планах совпадают, F(x*) = G(y*), где х*, у* - оптимальные решения задач I и II

Теорема 2 (вторая теорема двойственности).

Планы х* и у* оптимальны в задачах I и II тогда и только тогда, когда при подстановке их в систему ограничений задач I и II соответственно хотя бы одно из любой пары сопряженных неравенств обращается в равенство.

35. Решение пары симметричных двойственных задач, критерии оптимальности планов. Экономическая интерпретация задачи, двойственной к задаче об использовании ресурсов.

См. в тетрадь лекции задачу.

Если решить одну из пар симм. Двойственных задач то на основе теории двойственности можно сделать выводы о решении двойственной задачи:

Прямая задача	двойственная
Есть оптим план	Тоже есть
Целевая ф-ция не ограничена сверху на множестве планов (нет оптим плана)	Нет птим плана, так как с-ма ограничений несовместна
Несовместна с-ма ограничений	Нет оптим плана (возможны обе причины)

При решении 1ой задачи СМом в тех же таблицах есть решение и другой, поэтому если в последней СТце получен оптимальный план решаемой задачи, то в той же таблице находится и оптимальный план двойственной задачи. Он состоит из элементов индексной строки соответствующих дополнительным переменным исходной задачи.

Правильность найденных оптимальных планов дв. Задач можно проверить с помощью критериев оптимальности основанных на Теории двойственности:

1. Для того чтобы Х* и У* были оптимальными планами дв. Задач необходимо и достаточно чтобы

f(X*) = g(Y*)

2. Пусть пара сопряженных ограничений – это ограничения стоящие в одной строке при записи двойственных задач. Тогда для того чтобы Х* был оптимальным планом одной из дв. Задач необходимо и достаточно, чтобы существовал план У* другой задачи такой, что в каждой паре сопряженных ограничений строгому неравенству соответствовало бы неравенство.

36. Целочисленное программирование. Метод Гомори.

Во многих практических задачах важно получить не просто оптим план, а такой у которого все компоненты – целые числа. Простое округление нецелочисленного оптимального плана может вывести получившуюся точку заграницы области планов, поэтому мы будем рассматривать метод отсечений Гомори.

Суть в том, что сначала, отбросив требование целочисленности, решаем задачу до получения оптимал плана. Если этот план не целый, то спец. Образом строится дополнительное линейное ограничение, отсекающее от области планов полученный не целый оптимал план, и оставляем в области планов все целочисленные планы.

Целая часть – это ближайшее целое число к а, не превосходящее а.

Дробная часть – это разность между числом и ее целой частью.

Пример решения в тетр. по лекции.

Теорема:

S_i(X), i принадлежит 1:m отрицательна на нецелочисленном оптимал плане и не отрицательна на любом целочисленном.

На основании этой теоремы добавление ограничения S_i(X)≥0 к ограничениям исходной задачи отсекает от области планов нецелочисленный отптимал план, не затрагивая целочисленных планов задач. Пример в тетр.