Вопрос 21. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.

Локальная теорема Муавра-Лапласа

Если вероятность наступления события A в каждом испытании постоянна и неравна 0 и 1, то вероятность m наступления события A при достаточно большом количестве испытаний n приближенно равна:

где , и f(x) – это табулированная функция Гаусса, значение которой посчитано

Свойства функции Гаусса:

1. f(x) – это четная функция, то есть f(-x) = f(x)

2. f(x) – это монотонно убывающая функция, то есть при x -> f(x) -> 0

При x > 4 значение функции f(x) = 0

Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Если вероятность наступления события A в каждом испытании постоянна и неравна 0 и 1, то вероятность m наступления события A при достаточно большом количестве испытаний n произойдет от a до b раз:

где

В свою очередь, ,

Таким образом, – табулированная функция, интеграл Лапласа

Свойства интеграла Лапласа:

1. (x) – это четная функция, то есть (-x) = (x)

2. (x) – это монотонно возрастающая функция

При x > 5 значение функции (x) = 0,5

Вопрос 22. Дискретные случайные величины и их законы распределения.

Для справки!

Случайная величина – это такая величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем заранее неизвестно, какое именно.

Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные.

Дискретные случайные величины

Дискретная случайная величина – это такая величина, все значения которой можно заранее перечислить (то есть конечное число).

A, B, C, X – случайные величины

- возможные значения случайной величины

В результате опыта случайная величина принимает одно из своих возможных значений.

Пример:

Рассмотрим дискретную случайную величину X. В результате опыта может произойти X = , X = , X =

Это – полная группа событий.

Отсюда:

Таким образом,

Законы распределения дискретных случайных величин

Для справки!

Любое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и ее соответствующими вероятностями, есть закон распределения.

Закон распределения для дискретных величин в виде таблицы:

X

В

виде графика:

Вопрос 23. Непрерывные случайные величины: функция распределения, плотность распределения и их свойства.

Непрерывные случайные величины

Непрерывная случайная величина – это такая величина, чьи значения непрерывно заполняют какой-либо интервал, то есть их количество нельзя посчитать.

Функция распределения

Для непрерывной случайной величины нельзя построить ряд распределения, так как количество ее значений бесконечно.

Для характеристики закона распределения будем использовать вероятность P(X<x) (величина X меньше текущего параметра x)

Отсюда P(X<x)  F(x) – функция распределения случайной величины

X

0

1

Свойства функции распределения

1. 

При этом вероятность принятия величины:

 левее : F(

 правее : F(

1. Функция распределения есть неубывающая функция своего аргумента

2. Нахождение функции распределения вероятности в интервале:

Плотность распределения

Пусть есть непрерывная случайная величина X с функцией распределения F(X), которая непрерывна и дифференцируема (за исключением конечного/счетного числа точек).

Плотность распределения случайной величины – функция f(x) такая, что

Таким образом можно сделать вывод, что функция распределения – это первообразная плотности распределения.

Свойства плотности распределения

1. Нахождение плотности распределения вероятности в интервале:

2. Площадь под всей кривой распределения равна 1.

3)