Вопрос 1. Оду первого порядка. Основные понятия, теорема существования и единственности решения. Задача Коши.

Для справки!

Дифференциальное уравнение – уравнение, связывающее искомую функцию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные различных порядков данной функции.

Если искомая функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным (ОДУ), если от нескольких – то уравнением в частных производных.

Общий случай дифференциального уравнения:

G (x, y, y’ … y⁽ⁿ⁾) = 0, где G – это некоторая функция от n+2 переменных, причем n >= 1

Порядок n старшей производной при y называется порядком дифференциального уравнения.

Пример:

x²(y’’’)4 - x(y’)⁵ + 8 = 0 – это уравнение третьего порядка

Билет

Основные понятия

Решение дифференциального уравнения – это такая функция y = y(x), которая при подстановке ее в это уравнение обращает его в тождество. Задача о нахождении некоторого дифференциального уравнения называется задачей интегрирования данного дифференциального уравнения. График решения – интегральная кривая.

y’ = f(x;y) – уравнение первого порядка (1)

Геометрический смысл данного уравнения:

Область Г – это множество точек плоскости Oxy, на котором функция f(x; y) определена, при этом полагая, что Г – это открытое множество.

Производная функции y’ представляет собой угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной к кривой y = y(x) в точке с абсциссой x. Следовательно, уравнение (1) в каждой точке плоскости O(xy) задает направление tg α = f(x; y) касательной к интегральной кривой y = y(x). Говорят также, что уравнение (1) задает поле направлений в области Г. Решить заданное уравнение (1) – значит найти семейство кривых, отвечающих заданному полю направлений.

Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения

Пусть в дифференциальному уравнении (1) функция f(x; y) и ее частная производная y’ непрерывны (то есть определены в конкретной точке и имеют конечный предел, причем значение функции в данной точке совпадает со значением предела) на открытом множестве Г координат плоскости Oxy. Тогда:

1. Для всякой точки (x₀; y₀) множества Г найдется решение y = y(x) уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию y(x₀) = y₀.

2. Если два решения y = y₁(x) и y = y₂(x) совпадают хотя бы для одного значения x = x₀, то есть если y₁(x₀) = y₂(x₀), то эти решения совпадают для всех значений переменной x, для которых они определены.

Геометрический смысл данной теоремы состоит в том, что через каждую точку (x₀; y₀) множества Г проходит одна и ТОЛЬКО одна интегральная кривая уравнения.

Задача Коши

Задача отыскания частного решения дифференциального уравнения (1), удовлетворяющего начальному условию y(x₀) = y₀, называется задачей Коши. Таким образом, теорема, рассмотренная выше устанавливает условия существования и единственности решения задачи Коши.

Пример:

Решить уравнение y’ = y (2)

В данном случае, аналогично уравнению (1), значения f(x; y) = y, а также y’ = 1 определены и непрерывны при любых x и y, то есть условия теоремы выполнены на всей плоскости Oxy. Таким образом, если подставить в уравнение (2) любую функцию вида y = Ce^x (C – некоторое число), это все равно приведет к верному решению. Такие дела.