2.2 Расчет вероятности безотказной работы системы электроснабжения
1. Топливо на котельную подается по двум ниткам трубопровода. По каждой из ниток котельная может получить N % топлива для ее нормальной работы. Вероятность выхода из строя одной нитки трубопровода составляет q. Какова вероятность сохранения рабочего состояния котельной?
№ варианта |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
N |
50 |
75 |
100 |
50 |
75 |
100 |
50 |
75 |
100 |
50 |
q |
0.05 |
0.02 |
0.03 |
0.04 |
0.01 |
0.06 |
0.07 |
0.08 |
0.09 |
0.1 |
Решение:
Вероятность выхода из строя хотя бы одной из двух ниток трубопровода составляет
Вторая нитка трубопровода выходит из строя с той же вероятностью.
Вероятность одновременного выхода ниток трубопровода из строя:
Вероятность отказа равна:
Вероятность сохранения рабочего состояния котельной составит
2. В энергосистеме имеется группа из n однотипных котлов, работающих в одинаковых условиях. Вероятность исправного состояния котла – p. Найти вероятность рабочего состояния m котлов из n.
№ варианта |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
n |
10 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
m |
10 |
8 |
6 |
5 |
3 |
0 |
6 |
6 |
8 |
7 |
p |
0.98 |
0.95 |
0.96 |
0.95 |
0.97 |
0.9 |
0.95 |
0.97 |
0.98 |
0.92 |
Решение:
Задача решается с применением схемы Бернулли.
Вероятность того, что в работе окажется m котлов из n –
p=Cmn pm qn-m,
где Cmn= (n!)/[! (n-m)!] - число сочетаний из n элементов по n;
3. Какова вероятность безотказной работы машины постоянного тока, структурная схема надежности которой состоит из коллекторно-щеточного и подшипникового узлов, обмоток якоря и возбуждения. Вероятности безотказной работы представлены в таблице.
№ варианта |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
рк |
0.94 |
0.95 |
0.96 |
0.95 |
0.92 |
0.9 |
0.94 |
0.95 |
0.96 |
0.92 |
рп |
0.92 |
0.9 |
0.94 |
0.95 |
0.94 |
0.95 |
0.96 |
0.95 |
0.94 |
0.95 |
ря |
0.98 |
0.99 |
0.98 |
0.98 |
0.99 |
0.99 |
0.98 |
0.99 |
0.98 |
0.99 |
рв |
0.99 |
0.99 |
0.98 |
0.99 |
0.98 |
0.99 |
0.98 |
0.99 |
0.98 |
0.98 |
Решение.
При выходе из строя любого из перечисленных узлов будет иметь место отказ всей машины. Значит, структурная схема надежности представляет собой четыре последовательно включенных блока. Согласно формуле результирующая надежность будет равна
4.Определить вероятность безотказной работы схемы электроснабжения.
№ варианта |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
р1 |
0.6 |
0. 5 |
0.6 |
0.7 |
0.8 |
0.9 |
0.9 |
0.5 |
0.6 |
0.9 |
р2 |
0.7 |
0.9 |
0.8 |
0.6 |
0.9 |
0.8 |
0.7 |
0.9 |
0.8 |
0.9 |
р3 |
0.8 |
0.9 |
0.8 |
0.8 |
0.9 |
0.9 |
0.8 |
0. 9 |
0. 8 |
0. 9 |
р4 |
0.6 |
0. 5 |
0.6 |
0.7 |
0.8 |
0.9 |
0.8 |
0.6 |
0.7 |
0.8 |
р5 |
0.8 |
0.9 |
0.9 |
0.8 |
0.8 |
0.9 |
0.9 |
0.8 |
0.8 |
0.9 |
Решение
Для того чтобы определить вероятность безотказной работы заданной структурной схемы, преобразуем ее в 1 блок, и определим вероятность безотказной работы этого блока.
Структурная схема первого блока и ее преобразования представлены на рисунке
Структурные схемы системы электроснабжения
Из данной схемы видно, что 2 и 3 элементы соединены последовательно, тогда вероятность безотказной работы 2 и 3 блока можно определить по формуле:
,
где р2 и р3 – вероятность безотказной работы второго и третьего элемента структурной схемы соответственно
Исходя из того, что 1 и 23 элементы соединены параллельно, вероятность безотказной работы можно определить по формуле:
,
где q1 и q23 – вероятность того, что элемент находится в нерабочем состоянии, которая определяется по формуле:
,
Основываясь на то, что элементы 123 и 4 соединены последовательно, вычислим вероятность безотказной работы 123 и 4 блока по раннее используемой формуле:
,
Вероятность безотказной работы схемы и блока 1 найдем, используя формулу параллельного сложения 1234 и 5 блоков:
,
5. В течение 5 месяцев объём электропотребления завода (W) и число отклонений в системе автоматики (N) имели следующие значения:
|
Месяцы |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
1 |
W, МВт.ч. |
1455 |
1380 |
1500 |
1390 |
1440 |
N, шт. |
6 |
5 |
8 |
6 |
7 |
|
2 |
W, .МВт.ч. |
1460 |
1380 |
1550 |
1310 |
1420 |
N, шт. |
54 |
49 |
58 |
48 |
53 |
|
3 |
W, МВт.ч. |
1250 |
1260 |
1280 |
1350 |
1190 |
N, шт. |
6 |
9 |
7 |
11 |
4 |
|
4 |
W, .МВт.ч. |
1860 |
2080 |
1950 |
2370 |
2000 |
N, шт. |
55 |
40 |
50 |
36 |
53 |
|
5 |
W, МВт.ч. |
1455 |
1380 |
1500 |
1390 |
1440 |
N, шт. |
6 |
5 |
8 |
6 |
7 |
|
6 |
W, .МВт.ч. |
1460 |
1380 |
1550 |
1310 |
1420 |
N, шт. |
54 |
49 |
58 |
48 |
53 |
|
7 |
W, МВт.ч. |
1250 |
1260 |
1280 |
1350 |
1190 |
N, шт. |
6 |
9 |
7 |
11 |
4 |
|
8 |
W, .МВт.ч. |
1860 |
2080 |
1950 |
2370 |
2000 |
N, шт. |
55 |
40 |
50 |
36 |
53 |
|
9 |
W, МВт.ч. |
1455 |
1380 |
1500 |
1390 |
1440 |
N, шт. |
6 |
5 |
8 |
6 |
7 |
|
10 |
W, .МВт.ч. |
1460 |
1380 |
1550 |
1310 |
1420 |
N, шт. |
54 |
49 |
58 |
48 |
53 |
Найти коэффициент корреляции между W и N, составить уравнение регрессии между ними. Определить (если это допустимо) возможное число отключений, если план электропотребления на некоторый месяц определён 1450 тыс.кВт.ч.
Решение
Математическое ожидание электропотребления:
,
Математическое ожидание числа отключений автоматики:
Среднеквадратическое отклонение электропотребления:
Среднеквадратическое отклонение числа отключений:
Следует обратить внимание, что сумма квадратов отклонений делится по условию применения оценки среднеквадратического отклонения, то есть не на 5, а на 4, что связано с явной малостью объема выборки [2].
Коэффициент корреляции:
Снова используем оценку коэффициента корреляции, то есть делим на n-1=4, а не на n=5.
Уравнение регрессии:
Если коэффициент корреляции достаточно высок, то при заданном плане электропотребления W, допустимо определить возможное число отключений N.