§ 11. Матриця лінійного оператора в базисі із власних векторів.

Основні поняття і теореми [5, ст. 174-175].

Зразки розв’язування задач

Задача.

У деякому базисі простору задана матриця лінійного оператора

Переходячи до нового базису, звести цю матрицю до діагонального вигляду (якщо це можливо). Знайти цей базис.

Розв’язання.

Складаємо і розв’язуємо характеристичне рівняння

Корені характеристичного рівняння різні. Отже, матрицю лінійного оператора можна звести до діагонального вигляду.

1. 

Власний вектор, відповідний , знайдемо з системи

Звідси Тому власний вектор, відповідний власному числу .

2. 

Звідси Тому власний вектор, відповідний власному члену .

3. 

Звідси Тому власний вектор, відповідний власному члену .

Отже, якщо вектори , , брати за базис, то в цьому базисі матриця даного оператора матиме вигляд

.

Розрахункові завдання

Завдання 11.

У деякому базисі простору задана матриця лінійного оператора. Переходячи до нового базису, звести цю матрицю до діагонального вигляду (якщо це можливо). Знайти цей базис.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. . 9. .

10. . 11. . 12. .

13. . 14. . 15. .

16. . 17. . 18. .

19. . 20. . 21. .

22. . 23. . 24. .

25. . 26. . 27. .

28. . 29. . 30. .

§ 12. Пряма в .

Основні поняття і теореми [5, ст. 140 – 144].

Зразки розв’язування задач

Задача.

Дано координати вершин трикутника .

Знайти:

1) рівняння сторони ;

2) рівняння висоти, опущеної з вершини на сторону і обчислити її довжину;

3) точку перетину медіан;

4) рівняння бісектриси внутрішнього і зовнішнього кутів при вершині ;

5) рівняння прямої, що проходить через А₂ паралельно прямій А₁А₃, і знайти відстань між цими прямими.

Розв’язання.

Побудуємо рисунок до задачі.

Рис. 2

На рисунку 2: , – медіани, – бісектриса кута , – висота.

1) Рівняння прямої, яка проходить через дві точки має вигляд:

.

Тому рівняння сторони :

2) Канонічне рівняння прямої, яка проходить через точку паралельно вектору має вигляд

.

Висота проходить через точку і паралельна вектору , який колінеарний прямій . В даному випадку – це вектор, перпендикулярний прямій , тобто нормальний вектор прямої : . Отже, рівняння висоти

: .

Відстань d від точки до прямої обчислюється за формулою

.

Довжина висоти дорівнює відстані від точки до прямої , тому

.

3) К – точка перетину медіан . Знайдемо рівняння медіани :

де – середина відрізка .

Знайдемо рівняння медіани :

Розв’язавши систему рівнянь знайдемо координати точки .

4) Нехай точка L – точка перетину бісектриси внутрішнього кута при вершині із стороною . Координати точки L знайдемо за формулами:

Із властивості бісектриси внутрішнього кута трикутника слідує, що

.

Так як

то

Знаходимо координати точки L:

Отже, .

Рівняння прямої – бісектриси внутрішнього кута при вершині :

Бісектриси внутрішнього і зовнішнього кутів взаємно перпендикулярні, тому для знаходження рівняння бісектриси зовнішнього кута, скористаємось канонічним рівнянням прямої За напрямний вектор бісектриси зовнішнього кута при вершині , приймемо вектор – нормальний вектор прямої :

5) Скористаємося канонічним рівнянням прямої

,

– координати точки .

За напрямний вектор візьмемо вектор . Рівняння прямої, що проходить через точку паралельно прямій

:

Знайдемо відстань між цими прямими, як відстань від точки до прямої , тобто

Розрахункові завдання

Завдання 12.

Дано координати вершин трикутника А₁, А₂, А₃. Знайти:

1. рівняння сторін А₁А₂, А₂А₃, А₁А₃;

2. рівняння висоти, опущеної з вершини А₁ на сторону А₂А₃ і обчислити її довжину;

3. точку перетину медіан трикутника;

4. рівняння бісектриси внутрішнього і зовнішнього кутів при вершині А₂.

5. рівняння прямої, що проходить через А₂ паралельно прямій А₁А₃, і знайти відстань між цими прямими.

1. А1(3;3),	А2(-1;0),	А3(7;-6).
2. А1(5;-2),	А2(1;1),	А3(-7;-5).
3. А1(6;1),	А2(2;-2),	А3(10;-8).
4. А1(7;0),	А2(3;-3),	А3(-5;3).
5. А1(-3;-3),	А2(1;0),	А3(-7;6).
6. А1(-2;-4),	А2(2;-1),	А3(-6;5).
7. А1(-1;-5),	А2(3;-2),	А3(-5;4).
8. А1(9;2),	А2(5;5),	А3(-3;-1).
9. А1(8;-1),	А2(4;2),	А3(-4;-4).
10. А1(-4;-2),	А2(0;1),	А3(-7;6).
11. А1(-5;-2),	А2(-1;1),	А3(7;-5).
12. А1(6;1),	А2(2;-2),	А3(10;-8).
13. А1(-7;0),	А2(-3;3),	А3(5;-3).
14. А1(-8;1),	А2(-4;-2),	А3(4;4).
15. А1(-9;-2),	А2(-5;-5),	А3(3;1).
16. А1(7;8),	А2(3;5),	А3(11;-1).
17. А1(6;7),	А2(2;4),	А3(10;-2).
18. А1(4;5),	А2(0;2),	А3(8;-4).
19. А1(5;6),	А2(1;3),	А3(9;-3).
20. А1(3;3),	А2(-1;0),	А3(7;-6).
21. А1(7;5),	А2(11;2),	А3(3;-4).
22. А1(8;6),	А2(4;3),	А3(12;-3).
23. А1(6;4),	А2(10;1),	А3(2;-5).
24. А1(0;6),	А2(4;3),	А3(-4;-3).
25. А1(-1;-5),	А2(-5;-2),	А3(3;4).
26. А1(-2;-6),	А2(-6;-3),	А3(2;3).
27. А1(-1;-2),	А2(7;4),	А3(3;7).
28. А1(0;-3),	А2(8;3),	А3(4;6).
29. А1(13;-4),	А2(5;2),	А3(9;6).
30. А1(1;-4),	А2(9;2),	А3(5;5).