§ 9. Власні вектори та власні числа лінійного оператора.

Основні поняття і теореми [5, ст. 168-170].

Зразки розв'язування задач

Задача.

Знайти власні вектори і власні числа лінійного оператора, який у деякому базисі простору має вигляд

Розв'язання.

Складемо характеристичне рівняння

Власний вектор, відповідний єдиному дійсному значенню знаходимо із системи

з останнього рівняння системи отримаємо , із другого рівняння маємо .

Таким чином власному значенню відповідають власні вектори , де – довільне число, що не дорівнює нулю.

Розрахункові завдання

Завдання 9.

Знайти власні вектори та власні числа лінійних операторів простору , яким в деякому базисі відповідають матриці:

1.		2.		3.
4.		5.		6.
7.		8.		9.
10.		11.		12.
13.		14.		15.
16.		17.		18.
9.19.		9.20.		9.21.
22.		23.		24.
25.		26.		27.
28.		29.		30.

§ 10. Заміна матриці лінійного оператора при переході до нового базису.

Основні поняття і теореми [5, ст. 172-173].

Зразки розв’язування задач

Задача 1.

Лінійний оператор в базисі має матрицю

.

Знайти його матрицю в базисі , якщо , , .

Розв’язання.

Якщо і матриці лінійного оператора А відповідно в базисах і , то зв’язок між цими матрицями виражається рівністю , де – матриця переходу від базису до базису .

Маємо = .

Запишемо матрицю = ,

= ,

= .

Отже, .

Так як то – дійсно утворюють базис та існує обернена матриця:

.

Знаходимо :

.

Отже, в базисі оператор А має матрицю:

.

Задача 2.

Дано координатне зображення деякого лінійного оператора в базисі :

Знайти координатне зображення того самого оператора в базисі , де

Розв’язання.

Маємо

Оскільки, то дійсно утворюють базис та існує

За формулою

Отже, даний лінійний оператор в новому базисі має координатне зображення

Розрахункові завдання

Завдання 10.

У варіантах 1-10 лінійний оператор в базисі має матрицю . Знайти матрицю цього оператора в базисі .

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

У варіантах 11-20 дано координатне зображення лінійного оператора в базисі . Знайти координатне зображення цього оператора в базисі .

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. 

У варіантах 21-30 в базисі лінійний оператор має матрицю . Знайти матрицю цього оператора в базисі .

21. 

22. 

23. 

24. 

25. 

26. 

27. 

28. 

29. 

30.