§ 6. Метод Гаусса.

Основні поняття і теореми [5, ст. 70]

Зразки розв’язування задач

Задача.

Розв’язати систему лінійних рівнянь методом Гаусса.

1. 

Розв’язання.

Маємо

.

Звідси . Система сумісна. Оскільки ранг матриці А дорівнює числу невідомих, то система має єдиний розв’язок, який знайдемо, записавши перетворену систему за останньою матрицею. Отримаємо

.

Звідси

або

.

2. 

Розв’язання.

Маємо

Звідси . Система сумісна. Оскільки ранг матриці А менший числа невідомих, то система має безліч розв’язків. З даних чотирьох рівнянь системи перші два лінійно незалежні, а третє і четверте є лінійною комбінацією перших двох. Перетворена система матиме вигляд:

де базисні, а вільні невідомі.

Розв’язавши систему відносно , отримаємо

Запишемо загальний розв’язок даної системи у вигляді:

.

Зауваження. Щоб із загального розв’язку системи отримати деякий частинний розв’язок, треба надати вільним невідомим будь-яких числових значень.

Відповідь: , .

3. 

Розв’язання.

Маємо

тобто . Система рівнянь несумісна.

Розрахункові завдання

Завдання 6.

Розв'язати системи лінійних рівнянь методом Гаусса.

1.	2.
3.	4
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.

17.	18.
19.	20.
21.	22.
23.	24.
25.	26.
27.	28.
29.	30.

§ 7. Системи лінійних однорідних рівнянь.

Основні поняття і теореми [5, ст. 79 – 81].

Зразки розв’язування задач

Задача.

Знайти розмірність і базис підпростору розв’язків системи лінійних однорідних рівнянь

Розв’язання.

Запишемо основну матрицю системи

.

Маємо

.

Одержали трапецієподібну матрицю В рівносильну матриці А. Дана система рівносильна системі, для якої основною матрицею є матриця В, тобто дана система рівносильна системі

В цій системі є базисні, – вільні невідомі. Розв’яжемо цю систему, тобто виразимо базисні невідомі через вільні. Маємо

Тобто

,

або , де і .

Ранг матриці , складеної з координат векторів дорівнює 2, отже вектори – лінійно незалежні в . Вектори утворюють базис у підпросторі розв’язків, оскільки будь-який вектор-розв’язок даної системи має вигляд , тобто є лінійною комбінацією лінійно незалежних векторів . Так як базис підпростору розв’язків складається з двох векторів , то розмірність підпростору розв’язків дорівнює двом (числу вільних невідомих).

Відповідь: Вектори утворюють базис підпростору розв’язків даної системи лінійних рівнянь, розмірність цього підпростору дорівнює 2.

Розрахункові завдання

Завдання 7.

Знайти розмірність і базис підпростору розв'язків системи лінійних однорідних рівнянь.

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.

19.	20.
21.	22.
23.	24.
25.	26.
27.	28.
29.	30.