§ 4. Ранг матриці.
Основні поняття і теореми [5, с. 61 – 64].
Зразки розв’язування задач
Задача.
Обчислити ранг матриці
.
Розв’язання.
Виконуємо такі елементарні перетворення матриці А. Переставивши місцями 1-й і 3-й стовпці матриці А, отримаємо
.
Додамо до елементів 2-го рядка елементи 1-го рядка, а до 3-го – елементи 1-го рядка, помножені на (–5). Тоді маємо
.
Додаючи до 3-го рядка елементи 2-го, помножені на 3, отримаємо
.
Остання
матриця – трапецієподібна,
для якої
.
Отже,
.
Розрахункові завдання
Завдання 4.
Обчислити ранг матриці.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 5. Лінійна залежність векторів.
Основні поняття і теореми [5, ст. 35 – 36].
Зразки розв’язування задач
Задача.
Дослідити на лінійну залежність систему векторів:
Розв’язання.
Складемо матрицю А з координат даних векторів
,
в якій елементи
першого рядка – координати вектора
,
другого – координати вектора
,
третього – координати вектора
.
Знайдемо ранг цієї матриці
Маємо
,
вектори
– лінійно незалежні.
Так як ранг
матриці дорівнює максимальному числу
лінійно незалежних рядків, то вектори
,
як вектори лінійного простору
лінійно незалежні.
Розрахункові завдання
Завдання 5.
Дослідити на лінійну залежність систему векторів.
1. =(2;3;1;1), |
=(-1;0;-1;2), |
=(2;2;2;-1). |
2. =(3;2;1;4), |
=(2;3;4;1), |
=(3;1;-1;4). |
3. =(1;5;2;3), |
=(-1;1;-1;0), |
=(1;1;1;-1). |
4. =(1;-1;-3;1), |
=(3;2;1;4), |
=(2;3;4;2). |
5. =(3;3;1;5), |
=(1;-2;1;3), |
=(1;1;1;3). |
6. =(3;1;-1;3), |
=(-2;-1;0;1), |
=(5;2;-1;2). |
7. =(4;3;1;1), |
=(1;-2;1;-1), |
=(2;2;2;1). |
8. =(4;3;2;1), |
=(6;7;4;1), |
=(2;0;-1;1). |
9. =(3;2;1;-1), |
=(1;-3;-7;1), |
=(1;2;3;3). |
10. =(3;7;2;1) |
=(-2;0;-1;2), |
=(2;2;1;2). |
11. =(1;-2;6;1), |
=(1;0;1;3), |
=(2;-6;17;4). |
12. =(6;3;4;3), |
=(-1;-2;-1;2), |
=(2;1;2;2). |
13. =(7;3;4;1), |
=(-1;-2;-1;3), |
=(4;2;4;1). |
14 . =(2;3;2;-1), |
=(4;7;5;2), |
=(2;0;-1;2). |
15 . =(5;3;4;3), |
=(-1;0;-1;1), |
=(4;2;4;1). |
16. =(3;10;5;-1), |
=(-2;-3;-2;1), |
=(2;4;1;1). |
17. =(-2;-4;-3;1), |
=(4;3;1;-1), |
=(1;6;7;4). |
18. =(3;1;-1;2), |
=(1;0;-1;2), |
=(8;3;-2;1). |
19. =(4;2;2;1), |
=(-3;-3;-3;1), |
=(2;1;2;1). |
20. =(4;1;2;-1), |
=(9;2;5;4), |
=(1;-1;1;-1). |
21. =(5;3;4;1), |
=(4;3;3;1), |
=(9;5;8;2). |
22. =(3;4;2;2), |
=(1;1;0;1), |
=(8;11;6;1). |
23. =(4;-1;-6;1), |
=(1;-2;-7;3), |
=(2;-1;-4;2). |
24. =(3;1;0;1), |
=(-5;-4;-5;2), |
=(4;2;4;1). |
25. =(3;0;3;2), |
=(8;1;6;-1), |
=(1;1;-1;2). |
26. =(1;-1;4;2), |
=(1;0;3;1), |
=(1;-3;8;2). |
27. =(6;3;4;2), |
=(-1;-2;-1;4), |
=(2;1;2;-1). |
28. =(4;1;1;3), |
=(-9;-4;-9;1), |
=(6;2;6;3). |
29. =(-3;3;3;5), |
=(-4;7;6;3), |
=(3;0;-1;2). |
30. =(-7;10;-5;9), |
=(0;-2;-1;0), |
=(-2;4;-1;1). |