§ 13. Площина і пряма в .

Основні поняття і теореми [5, ст. 140 – 144].

Зразки розв’язування задач

Задача 1.

Знайти точку , яка симетрична точці відносно прямої , що задана рівнянням

Розв'язання.

Рівняння площини , яка проходить через точку перпендикулярно прямій (рис. 3) має вигляд або . Вектор паралельний даній прямій .

рис. 3

Координати точки , яка є точкою перетину прямої і площини , є розв'язком системи:

Точка є серединою відрізка , отже, координати точки можна знайти таким чином:

Відповідь: .

Задача 2.

Знайти точку , яка симетрична точці відносно площини , що задана рівнянням .

Розв'язання.

Канонічне рівняння прямої , яка перпендикулярна площині і проходить через точку (рис. 4) має вигляд:

рис. 4

Точка є точкою перетину прямої і площини , отже, її координати – це розв'язок системи рівнянь:

Точка є серединою відрізка , отже, координати точки можна знайти таким чином:

Відповідь: .

Задача 3.

Обчислити відстань від точки до прямої , що задана рівнянням .

Розв'язання.

Вектор є паралельним до прямої .

Знайдемо рівняння площини , яка проходить через точку перпендикулярно прямій (рис. 5): , .

рис. 5

Точка є точкою перетину прямої і площини , отже, її координати – це розв'язок системи рівнянь:

Відстанню між точкою і прямою буде відстань між точками і . Отже, .

Відповідь: .

Задача 4.

Знайти відстань між прямими і , які задані рівняннями:

Розв'язання.

Знайдемо вектори і , які є паралельними відповідно до прямих і (рис. 6):

, .

Знайдемо координати деякої точки , яка належить прямій . Для цього у системі рівнянь, що визначає пряму , покладемо, наприклад, :

рис. 6

Знайдемо рівняння площини , що проходить через точку паралельно до векторів і :

.

Відстань між прямими і буде рівною відстані між будь-якою точкою прямої і площини . Знайдемо координати деякої точки , яка належить прямій :

Отже, .

Відповідь: .

Розрахункові завдання

Завдання 13.

Знайти точку М₁, яка симетрична точці М відносно прямої.

1. М(0,-3,-2), .	5. М(1,0,-1), .
2. М(2,-1,1), .	6. М(2,1,0), .
3. М(1,1,1), .	7. М(-2,-3,0), .
4. М(1,2,3), .	8. М(-1,0,-1), .

Знайти точку М₁, яка симетрична точці М відносно площини.

9. М(1,0,1), 4x+6y+4z-25=0.	13. М(-1,2,0), 4x-5y-z-7=0.
10. М(-1,0,-1), 2x+6y+2z+11=0.	14. М(2,-1,1), x-y+2z-2=0.
11. М(0,2,1), 2x+4y-3=0.	15. М(1,1,1), x+4y+3z+5=0.
12. М(1,0,1), y+z+2=0.	16. М(1,0,1), 2x+10y+10z-1=0.

Обчислити відстань від точки М до прямої.

17. М(1,-1,-2), .	21. М(3,-2,0), .
18. М(2,0,-1), .	22. М(-1,2,2), .
19. М(3,2,1), .	23. М(5,1,-1), .
20. М(4,2,-2), .

Знайти відстань між прямими.

24. і

25. і .

26. і .

27. і .

28. і

29. і .

30. і