26. Особенности анализа индуктивно связанных цепей

При расчете индуктивно связанных цепей обычно используют законы Кирхгофа и метод контурных токов. Другие методы либо нецелесообразно использовать из-за громоздкости решения, либо нельзя применять вследствие наличия индуктивной связи (методы узловых потенциалов, эквивалентного генератора). Для того чтобы можно было использовать все рассмотренные ранее методы расчета, применяют “развязку” индуктивных связей. Рассмотрим сущность этих методов на примере цепи, схема которой изображена на рис. 3.23.

Расчет по законам Кирхгофа. Составим уравнения по ЗТК и ЗНК, в комплексной форме:

 (3.102)

При составлении уравнений по ЗНК необходимо пользоваться следующим правилом знаков: напряжение взаимоиндукции, создаваемое в k-й ветви от тока, протекающего в l-й ветви, берется со знаком “+”, если направление обхода k-й ветви и положительное направление тока в l-й ветви одинаково ориентировано относительно одноименных зажимов. В противном случае берется знак “–”.

Решая систему (3.102), получаем искомые токи I₁, I₂ и I₃.

Метод контурных токов. В соответствии с этим методом (см. § 2.4) и правилом знаков уравнения для контурных токов I_к1 и I_к2 (см. рис. 3.23) принимают вид

 (3.103)

Решая систему (3.103), находим контурные токи I_к1 и I_к2, а затем токи ветвей I₁ = I_к1; I₂ = I_к1 – I_к2; I₃ = I_к2.

Рассмотренные методы можно обобщить на схемы произвольной конфигурации.

Рис. 3.23

Развязка индуктивных связей. Расчет индуктивно связанных цепей существенно упрощается, если использовать эквивалентные схемы, не содержащие в явном виде индуктивные связи. Составление подобных эквивалентных схем и составляет сущность метода “развязки” индуктивных связей. При этом эквивалентные связи учитываются в эквивалентных индуктивностях развязанных схем. Примером подобной развязки могут служить эквивалентные индуктивности, определяемые уравнениями (3.79), (3,87), (3.101).

В общем случае развязку любых двух индуктивно связанных элементов L₁ и L₂, соединенных в одном узле (рис. 3.24, а) можно осуществить с помощью схемы, изображенной на рис. 3.24, б для случая, когда элементы L₁ и L₂ соединены в узле 0' одноименными зажимами (* ) и с помощью схемы на рис. 3.24, в для соединения L₁ и L₂ в узле 0' разноименными зажимами (  ). Для доказательства эквивалентности этих схем достаточно составить уравнения по законам Кирхгофа для каждой из них и доказать их идентичность. Действительно, для случая включения одноименными зажимами для схемы на рис. 3.24, а имеем:

 (3.104)

Для развязной схемы на рис. 3.24, б имеем:

Рис. 3.24

Рис. 3.25

 (3.105)

Учитывая, что I₁ = I – I₂ и I₂ = I – I₁ после подстановки I₁ и I₂ в (3.104) получаем уравнения, аналогичные (3.105). Подобным же образом доказывается эквивалентность и второй схемы при включении L₁ и L₂ разноименными зажимами.

27. Трансформатор

Трансформатором называется статическое устройство, предназначенное для преобразования значений переменных напряжений и токов. Простейший трансформатор состоит из двух индуктивно связанных катушек с индуктивностями L₁ и L₂, расположенных на общем сердечнике. Катушка, к которой подключается источник, называют первичной, а к которой подключают нагрузку – вторичной. Сердечник может быть выполнен из ферромагнитного или неферромагнитного материала. Примером трансформатора последнего типа является воздушный трансформатор, находящий широкое применение в технике связи, измерительных приборах, различных радиотехнических устройствах.

Воздушный трансформатор. На рис. 3.26 изображена схема простейшего воздушного трансформатора с потерями в первичной R₁ и вторичной R₂ катушках (обмотках), нагруженного на комплексное сопротивление Z_н = = R_н + jХ_н.

Рис. 3.26

Составим уравнение трансформатора по ЗНК для I и II контуров:

 (3.106)

где

 (3.107)

Из системы уравнений (3.106) следуют уравнения для токов I₁ и I₂:

 (3.108)

По аналогии с (3.93) введем понятие вносимых сопротивлений:

. (3.109)

Тогда уравнения (3.108) можно переписать следующим образом:

. (3.110)

Трансформатор с ферромагнитным сердечником. Ферромагнитный сердечник применяется для увеличения магнитного потока и связи между катушками, что приводит к росту мощности, отдаваемой во вторичную цепь трансформатора. При этом по своим свойствам он приближается к идеальному трансформатору, но становится в общем случае нелинейным устройством вследствие появления дополнительных потерь на гистерезис и вихревые токи. Однако на практике трансформатор с ферромагнитным сердечникомстараются конструировать таким образом, чтобы нелинейность была мала и ею можно было пренебречь. Тогда расчет подобного трансформатора можно осуществить на основе двухконтурной схемы замещения, изображенной на рис. 3.30 с параметрами, приведенными к параметрам первичной обмотки. Данная схема может быть получена по аналогии со схемой рис. 3.28 с учетом потерь в стали G₀ и намагничивания В₀. Приведенные значения Х' _s2, I' ₂ определяются согласно равенствам:

 (3.115)

где Х_s1, Х_s2 – индуктивные сопротивления первичной и вторичной катушек (индуктивности рассеяния). Величины тока потерь в стали I_п = G₀U_ф и намагничивающего тока I_ф = B₀U_фопределяют суммарный ток потерь:

, (3.116)

где аргумент   называется углом потерь.