23. Гармонические колебания в цепи при параллельном соединении r, l, с-элементов

Приложим к цепи, содержащей параллельно соединенные элементы R, L, С (рис. 3.10), напряжение

. (3.36)

Согласно ЗТК ток в неразветвленной части цепи

. (3.37)

Подставив значение напряжения и из (3.36) в (3.37), получим

Рис. 3.10

Рис. 3.11

 (3.38)

Перепишем уравнение (3.38) в виде

 (3.39)

где

 (3.40)

На рис. 3.11 изображена векторная диаграмма токов, описываемых уравнением (3.39).

Ток в резистивном сопротивлении I_mR называют активной составляющей тока I_ma, а разность тока I_mp = I_mL – I_mC – реактивной составляющей тока. Для I_ma и I_mp справедливы соотношения

. (3.41)

Величина B = B_L – B_C = 1/(  L) –   C называется реактивной проводимостью цепи, а величина

 (3.42)

– полной проводимостью цепи.

По аналогии с треугольником напряжений и сопротивлений при параллельном соединении элементов можно ввести треугольники токов и проводимостей (рис. 3.12, а, б).

Рис. 3.12

24. Символический метод расчета разветвленных цепей

Расчет разветвленных цепей при смешанном соединении элементов в режиме гармонических колебаний обычно осуществляется символическим методом. Это объясняется тем, что классический метод расчета приводит к громоздким интегрально-дифференциальным уравнениям и требует большого объема тригонометрических преобразований. Символический метод позволяет тригонометрические операции над гармоническими колебаниями и геометрические операции над векторами свести к алгебраическим операциям над комплексными числами, что существенно упрощает расчет. Запишем основные законы электрических цепей в символической форме.

Для резистивного элемента R связь между комплексными амплитудами тока I_m и напряжения U_m можно определить согласно закону Ома (1.6) путем замены мгновенных значений токов i и напряжений и их комплексными амплитудами:

. (3.44)

Для индуктивного элемента L связь между I_m и U_m определяется согласно (1.9) с учетом (3.24):

, (3.45)

где j = e^{j  /2} – множитель, характеризующий фазовый сдвиг между векторами тока I_m и напряжения U_m (см. рис. 3.6). Уравнение (3.45) отражает закон Ома для индуктивных элементов. Сравнение (3.45) с (1.9) показывает, что операция дифференцирования d/dt соответствует в комплексной форме умножению на j  .

Для емкостного элемента С на основании (1.12) можно записать:

, (3.46)

т. е. операция интегрирования соответствует в комплексной форме делению на j  . Полученные уравнения (3.44)–(3.46) справедливы и для комплексных действующих значений токов и напряжений:

 (3.47)

где  ;  .

Аналогично можно получить уравнения законов Кирхгофа в комплексной форме. Так, для ЗТК (1.16) заменив мгновенные значения токов i_k их комплексными амплитудами I_mk, получим

, (3.48)

а для ЗНК (1.17)

. (3.49)

Полученные уравнения законов Ома и Кирхгофа в комплексной форме лежат в основе символического метода расчета линейных цепей при гармонических воздействиях. Причем, как показывает анализ уравнений (3.24), (3.26), (3.45) и (3.46), при переходе к комплексной записи операции дифференцирования заменяются умножением на j  , операции интегрирования – делением на j  . В результате вместо системы интегрально-дифференциальных уравнений получаем систему алгебраических уравнений, решение которой определяет амплитуды и начальные фазы искомых токов и напряжений.