1:400, Якщо стан приладу добрий. Похибка визначення площі планіметром не

повинна перевищувати принаймні 1:200 від величини площі. Для забезпечення

точної роботи планіметра проф. А.В. Маслов запропонував ставити на

планіметрі два відлікові механізми. Це дало змогу підвищити точність

визначення площі планіметром майже в 1,5-2 рази.

2г,

/ / 1І / 11 1 ~У>3

/1

11 1

11 1

іІ 1

іі іі іі

11* 1 1

І

1

1

І *4

1

і

11* 3 1 1

1 a

11 1 в

1

1 с

1

! d

У і У2 У4 Уз

11.5.10. Аналітичний метод визначення площ

Найточніший метод визначення

площ зімкнутих контурів - аналітичний. У

цьому методі використовують значення

координат вершин полігона, який обмежує

шукану площу.

Нехай дано чотирикутник 1234 (рис.

II.5.11) та координати його вершин: (хь^і),

(*2, Уі), Уз), (х4, У*)- Площу цього

чотирикутника можна визначити як площу

чотирьох трапецій, а саме:

S = Sl,2.e.a + S2,3,d.e ~ $1.4.с,а ~ S4,3,d,c- (П.5. 16)

Площу кожної трапеції можна об-

числити як добуток півсуми основ на ви-

соту і результат записати у вигляді:

2S і,2,в.а = (Хі+Х2)(>2-Уі); 2S 2,3.d.e = (х2+хз)(уз-у2);

2S2,ЗЛв = (хз+хЛ)(уз-у4)-, 2S2,3.d.e = (х4+х,)(у4-_у,).

Підставивши ці значення у формулу (ІІ.5.16), отримаємо

2S = (хі+х2)(у2-уі) + (х2+хз)(уз-у2) - (х3+х4)(у3->>4) - (х4+хі)(>4-уі). (II.5.17)

Розкриємо в правій частині формули дужки і запишемо

2S = Х!у2- х,у,+ х2у2- х2у,+ х2у3- х2у2+ х3у3- х3у2

- Х3у3+ х3у4- х4у3+ х4у4- х4у4+ х4у,- Хіу4+Х,уі. (II. 5.18)

Скоротивши однакові члени з різними знаками, одержимо

2S = хіу2- х2у,+ х2у3- х3у2+х3у4- х4у3 + x 4yr Хіу4. (II.5.19)

Рис. 11.5.11. До обчислення площі

за координатами вершин полігону

>218

Горизонтальнв знімання

Згрупуємо члени у формулі (II.5.19) так, щоб множниками були абсциси х,

й отримаємо

2S = х^-Уа) + х2(уі-у\) + хі(у4-у2) + ^(уі-^з), (II.5.20)

або ординати у

2S =у,(х4-х2) +у2(х,-х3) +у3(х2-х4) +у4(х3-х,). (ІІ.5.21)

Формули (ІІ.5.20) та (И.5.21) можна записати для будь-якого «-кутника у

вигляді

2S = Z x i ( y i + 1 - yM) ; (II.5.22)

і=1

2S = Z y i ( x , 1 - x i + 1 ) , (II.5.23)

І=1

У формулах і - номер точки w-кутника. За цими формулами можна виз

начати площу багатокутника. За однією - площу, а інша використовується для

контролю правильності обчислень.

Зрозуміло, що в аналітичному методі точність визначення площ залежим,

н основному від точності визначення координат вершин и-кутника.

11.5.10. Визначення площ методом академіка Савича

Академік Савич запропонував точний метод вимірювання площ, за яким

не ниникають похибки визначення сталої планіметра т (точніше гт2, де т

іпаменник масштабу), а також усуваються похибки, пов'язані з деформаціями

паперу, на якому побудовано план чи карту. В результаті значно підвищується

ючиість вимірювань. Такий метод широко застосовують для значних площ,

наприклад, площ областей чи площі усієї країни.

Розглянемо суть методу. Нехай маємо площу ділянки Р, визначену

иіалітично. Це може бути, наприклад, трапеція аркуша карти. Площу трапецій

їй і ановлено аналітично за координатами чотирьох вершин.

Нехай на цій трапеції необхідно знайти площі ділянок, що входять у різи

оонасті, а саме ділянки Р ь Р2, Рз. Планіметром визначають площу всі< ї фігурі1

і рапеції та площі її частин Р ь Р2, Р3. Тоді можна записати:

P = x-(mK-mn); (115.24

Р, = т-(шік - Ш|П); (II.5.25

Р2 = т ( т 2 к - т2п); (II.5.26

Рз = х (ш3і< - т3„). (ІІ.5.27

2Н

Розділ II

Розділивши площу першої фігури на площу усієї трапеції, матимемо

—р, = —т --(—т , - - т 1—п ) , тому р, = р-—( т—1 к - т , —) . (11.5.28)

Р t(mK - m n ) K-m„)

Нагадаємо, що Р - відома площа, яку визначили за координатами вершин

грапеції аналітично.

Аналогічно знаходимо площі інших ділянок:

p 1 = p . ( m ^ ~ m 2 ° ) . (ІІ.5.29)

( т к - т п )

р , = р . ( т 3 " ~ т 3 " ) . (II.5.ЗО)

( т к - т п )

З формул (ІІ.5.28), (ІІ.5.29), (ІІ.5.30) видно, що на ТОЧНІСТЬ визначення

площ фігур не впливає ТОЧНІСТЬ визначення сталої планіметра, а лише точність

обведення контурів обвідною точкою.

>220

РОЗДІЛ III. ВЕРТИКАЛЬНЕ ЗНІМАННЯ