1.3.24. Оцінка точності результатів вимірювань

Виміряти величину - це значить порівняти її з іншою величиною, прий-

гою за одиницю міри. Досвід показує, що окремі результати найретельніших

сторазових вимірювань тієї самої величини відхиляються в той чи інший бік

, дійсного значення. Це пояснюється тим, що процес вимірювання неминуче

іроводжується похибками.

Отже, в результаті вимірювань спостерігач отримує не істинну величину,

ише наближене значення фізичної величини.

За джерелом походження розрізняють такі види похибок:

• особисті похибки спостерігача;

• інструментальні похибки;

• похибки методу вимірювань;

• похибки за вплив зовнішнього середовища.

За характером похибки поділяють на два класи:

• грубі;

• неминучі (систематичні та випадкові).

До грубих похибок належать ті, які виникають в результаті недбалого

сонання вимірювального процесу - прорахунки у вимірах, спричинені

'важністю спостерігача, несправністю приладу тощо. Грубі похибки

іучають із результатів вимірювань, переважно повторними вимірюваннями

) іншою методикою.

Систематичні похибки виникають з визначеного джерела та мають

іначений знак та величину. Ці похибки підпорядковуються відомим

тематичним законам, їх можна врахувати чи мінімізувати їх вплив. їх можна

іучити за допомогою методики.

Загальні відомості з топографії'

Випадкові похибки завжди супроводжують вимірювання. Закономірності

випадкових похибок проявляються в масиві вимірів та зумовлені точністю

приладу, кваліфікацією спостерігача та іншими факторами. їх вплив можна

послабити, підвищуючи якість та збільшуючи кількість вимірювань, а також

виконуючи належне математичне опрацювання результатів вимірювань.

Під випадковою похибкою Д, розуміють різницю між вимірюваним

значенням випадкової величини х т а точним значенням X, тобто

Д, (1.3.43)

де і=1,2,...,п.

Властивості випадкових похибок вимірювань проявляються в масивах

вимірів. їх характеристики такі:

а) властивість обмеженості: випадкові похибки за абсолютним

значенням для заданих умов вимірювань не перевищують визначеної межі

| Д І <Агр\

б) властивість ____________симетричності: додатні та від'ємні значення похибки

рівпоможливі та за більшої кількості вимірювань однаково часто виникають;

в) властивість унімодсиїьності: малі за абсолютним значенням випадкові

похибки виникають у разі вимірювань частіше, ніж великі;

г) властивість компенсації: середнє арифметичне із значень випадкових

похибок за нескінченного зростання кількості вимірювань прямує до нуля,

тобто володіє властивістю компенсації

l i J j l - Ю . (1-3.44)

n-xo n

Якщо не виконується остання властивість, то похибки відносять до

систематичних.

Виконуючи вимірювання, завжди прагнуть визначити точність отрима-

ного результату. Тому в теорії похибок встановлюються різні критерії для

оцінювання точності результатів вимірювань, а саме:

• середня квадратична похибка т\

• гранична похибка А^

• середня похибка о ;

• ймовірна похибка г.

Середня квадратична похибка т - це міра розсіювання результатів

вимірювань навколо істинного значення вимірювальної величини. Вона г

основним критерієм оцінки точності геодезичних вимірів. Якщо вимірювання

104

_ Розділ I

«поточні і відоме істинне значення вимірюваної величини, то серсдньо-

задратична похибка обчислюється за формулою Гаусса

т = (1.3.45)

г [д2 ]= Д2 + Д2 + A3 + • • - + А2 - сума квадратів істинних похибок вимірювань;

— загальна кількість вимірювань.

Середня квадратична похибка має такі позитивні властивості:

• є стійким критерієм для оцінювання точності вимірювань навіть для

евеликої кількості вимірів;

• найповніше характеризує якість вимірів;

• на її величину істотно впливають великі за абсолютною величиною

ипадкові похибки, які й визначають якість вимірювань;

• за її величиною можна визначити середню, ймовірну та граничну

охибки;

• теорія ймовірностей дає можливість встановити з яким ступенем довіри

бчислена сама середня квадратична похибка

т т = ^ = . (1.3.46)

V2 п

Для достатньо надійного визначення прийнято вважати, що кількість

имірів має бути більшою за 8, тобто п>8.

Граничну похибку Агр визначають для теоретичних розрахунків допусків

і формулою

Azp=3m. (1.3.47)

На практиці, враховуючи обмежену кількість вимірювань, приймають

Агр=2т. (1.3.48)

Середня похибка v - середнє арифметичне з абсолютних значень випад-

ових похибок знаходять за формулою N 1» = ^ , (1.3.49)

п

е |д|] = |А,| + |А2| + ... + |Ап| -сума абсолютних значень випадкових похибок.

Середня похибка використовується для контролю середньої квадратичної

охибки. За малої кількості вимірів вона є недостатньо надійною, оскільки на

начення середньої похибки вплив великих за абсолютною величиною похибок

незначним.

22

Загальні відомості з топографії

Ймовірною похибкою г називається таке значення випадкової похибки,

коли більші чи менші за абсолютною величиною значення похибки рівпо-

можливі. Вона лежить посередині ряду похибок, якщо їх розташувати за зрос-

танням абсолютних значень. Ймовірна похибка використовується для контролю

середньої квадратичної похибки. Недолік її в тому, що у разі великої кількості

вимірів процес обчислення ймовірної похибки дуже громіздкий.

Між середньою квадратичною і ймовірною похибками існує зв'язок, який

можна подати у формі наближених співвідношень:

V = 4/5m, (1.3.50)

г = 2/Зт. (1.3.51)

Середню квадратичну, середню, ймовірну, граничну похибки називають

абсолютними.

Відношення похибки ms до середнього значення виміряної величини S,

виражене дробом, у чисельнику якого одиниця, називається відносною похибкою

^ = (L3.52)

S N

де N - знаменник.

Арифметична середина та її властивості.

Відомо, що найнадійнішим (ймовірним) значенням багаторазово вимі-

ряної величини S є середнє арифметичне із результатів вимірювань або проста

ирифметична середина

S0 = — • (1.3.53)

п

Це пояснюється такими її властивостями:

• Якщо кількість вимірів велика, середнє арифметичне прямує до

істинного значення

ІІт ' "Іст• (13.54)

п-х»

• Сума відхилень виміряних значень 5, від середнього арифметичного

So дорівнює нулю

[V] = 0, (1.3.55)

де V, = So - Sj.

Коли вимірювання рівноточні і за найімовірніше значення виміряної

величини приймають середнє арифметичне, середню квадратичну похибку

одного вимірювання ms визначають за формулою Бссссля

Розділ I

ms = . (1.3.56)

n-1

ї V,- - відхилення окремих вимірів від середнього арифметичного; п - кількість

ІМІрІВ.

Середню квадратичну похибку Ms арифметичної середини обчислюють

і формулою

MS = ^ L . (1.3.57)

л/л

Середньовагове та його властивості.

Якщо вимірювання нерівноточні, тобто мають різні середні квадратичні

охибки, то кожен вимір характеризує спеціальна величина - вага. Вага - це

гупінь довіри доданого результату вимірювання. Тоді ймовірним (найна-

ійнішим) значенням виміряної величини буде середньовагове або загальна

рифметична середина, яка визначається за формулою

[V^] = s1.p,+s2.p2+...+pn.pn

[Р,] Р1+Р2+... + Рп

е Si - результати вимірів деякої величини; Рі - відповідні їм ваги.

Середньовагове має такі властивості:

• За великої кількості вимірів середнє вагове прямує до істинного

начення

limS0->Sicm. (1.3.59)

Я—>00

• Сума добутків ваг на відхилення виміряних значень від середнього

іагового дорівнює нулю

[i>v,] = 0. (1.3.60)

Середні квадратичні похибки М результатів вимірювання загальної

ірифметичної середини визначають за формулою

м ~ ~ т (U- 6 ,)

іе р - похибка одиниці ваги за відхилення від загальної арифметичної

:ередини.

Отже, коли вимірювання нерівноточні, найіймовірніше значення вимі-

)яної величини обчислюють як середнє вагове, а середню квадратичну похибку