Тема 16 Уравнения полей скоростей и ускорений (уравнения кинематики Эйлера)

Движение жидкости характеризуется, в основном, параметрами движения – скоростью и ускорением.

При неустановившемся движении поле скоростей изменяется во времени, то есть для одной и той же точки пространства скорость движения жидкости различна в различные моменты времени.

Обозначим через u_x, u_y, u_z проекции скоростей на оси координат. Тогда неустановившееся движение потока жидкости описывается системой уравнений:

u_x = f₁ (x, y, z, t);

u_y = f₂ (x, y, z, t); (16.1)

u_z = f₃ (x, y, z, t).

Величина полной скорости равняется:

u = . (16.2)

Для установившегося движения система уравнений будет иметь вид:

u_x = f₁ (x, y, z);

u_y = f₂ (x, y, z); (16.3)

u_z = f₃ (x, y, z).

Располагая уравнениями (16.1) и (16.2), можно определить скорость в данной точке по величине и направлению, а также ускорение j. Величина ускорения j определяется выражением:

j = , (16.4)

где проекции ускорения соответственно равны:

j_x = ; j_y = ; j_z = .

В общем случае неустановившегося движения проекции скорости u_x, u_y, u_z являются функциями переменных Эйлера (координат x, y, z и времени t). Поэтому полный дифференциал скорости равен сумме четырёх частных дифференциалов:

du_x = × dt + × dx + × dy + × dz,

а её производная по времени

= + × + × + × . (16.5)

Рассматривая dx, dy, dz как проекции элементарного перемещения dl на оси координат, получим:

= u_x; = u_y; = u_z.

Тогда уравнение (16.5) запишется в виде

= + × u_x + × u_y + × u_z.

Аналогичные выражения можно составить также для производных и , в результате чего получим выражения для проекций ускорения в координатах Эйлера.

j_x = = + × u_x + × u_y + × u_z.

j _y = = + × u_x + × u_y + × u_z. (16.6)

j_z = = + × u_x + × u_y + × u_z.

Полученная система получила название уравнения кинематики Эйлера или уравнения неустановившегося движения жидкости.

Уравнение потока (16.6) слагается из локальной и конвективной составляющих. Локальная составляющая представляет собой интенсивность изменения скорости в данной фиксированной точке пространства (при неизменных координатах x, y, z). Она обусловлена неустановившемся характером движения жидкости. Конвективная составляющая характеризует изменение скорости частицы при её перемещении относительно координатных осей – ускорение при перемещении частицы в пространстве.

При установившемся движении локальная производная равна нулю

= 0.

В случае установившегося движения уравнения имеют вид:

j_x = = × u_x + × u_y + × u_z.

j _y = = × u_x + × u_y + × u_z. (16.7)

j_z = = × u_x + × u_y + × u_z.