4.1 Мета роботи

Ознайомитися з методами аналізу стійкості лінійних систем з тиловим регуляторами та визначення критичних параметрів системи, дослідити вплив настроювальних параметрів регуляторів на стійкість системи

4.2. Загальні відомості

Під стійкістю систем автоматичного керування розуміють їх здатність повертатися до вихідного усталеного режиму після короткочасної дії керуючої і збурюючої величини, яка виводить систему з початкової рівноваги,

Динамічні властивості лінійних систем описуються неоднорідний диференційними рівняннями з постійними коефіцієнтами. Ці рівняння прийнято записувати у вигляді

де у— регульована величина, X- вхідна дія.

Ліва частина диференціального рівняння описує вільний рух системи

Цей рух стійкий, якщо

де у_пер - загальний розв'язок однорідного диференціального рівняння.

Розв'язок однорідного диференціального рівняння /5.2/ знаходять у формі

/4.

де С, - сталі інтегрування, s_t- корені характеристичного рівняння системи.

Характеристичне рівняння складається на основі диференціального рівнянні системи. Разом з тим характеристичне рівняння є рівнянням для полюс передаточної функції і може бути отримане з передаточної функції замкнутої системи, якщо знаменник передаточної функції прирівняти до нуля. Для рівняння /5.1/ воно матиме вид

/4.

Корені характеристичного рівняння можуть бути дійсними або комплексний числами. Для довільних пари комплексних коренів можна записати

Де дійсна і уявна частина і кореня.

Для стійкості лінійних систем необхідно і достатньо, щоб корені характеристичного рівняння були від'ємними і комплексними числами від'ємними, дійсними частини. Загальну умову стійкості можна сформулювати інакше: система є стійкою коли корені характеристичного рівняння лежать в лівій півплощині комплексної площини коренів (рис, 4.1). Таким чином, уявна вісь є межею, яка ділить комплексну площину коренів на дві області - ліву стійку і праву - нестійку. Система знаходиться на межі стійкості, якщо один з коренів попадає на уявну вісь. При цьому в системі виникають автоколивання. В такому режимі лінійна система експлуатуватися не може.

Рис. 4.1. Аналіз стійкості за коренями характеристичного рівняння:

а) -система стійка, б) -система нестійка

Існують методи, що дозволяють досліджувати стійкість систем автоматичного керування без знаходження коренів характеристичного рівняння. Вони мають назву критеріїв стійкості. Критерії стійкості поділяються на алгебраїчні і частотні. До алгебраїчних належать критерії Рауса, Гурвіца, Льєнара-Шіпара, до частотних -критерії Михайлова та Найквіста.

Найчастіше для аналізу стійкості систем невисокого порядку (п S 5 ) та систем, до складу яких не входять особливі ланки, використовують критерій Гурвіца, який приводить до тієї ж самої системи нерівностей, що і критерій Рауса. Тому, інколи, ці критерії називають критеріями Рауса-Гурвіца.

Для аналізу стійкості системи за критерієм Гурвіца складають визначник з коефіцієнтів характеристичного рівняння таким чином, що по головній діагоналі розташовують коефіцієнти від а_п__} до а_п , далі місця в стовпцях над діагоналлю заповнюють коефіцієнтами в порядку зростання індексів, а знизу від діагоналі - із меншими індексами. Пусті місця заповнюють нулями.

За допомогою функціональної клавіші Р4-Ред відкрийте для редагування

діалогове вікно ланки постійного запізнення та змініть постійну часу і

= 0,1 с Повторіть розрахунок, а дані занесіть в табл. 2.

t,c
h(t

= 0,1 с

Аналогічним чином промоделюйте перехідний процес в досліджуваній системі при

= 0,3 с.

Повторіть розрахунок, а дані занесіть в табл. 3.

= 0,3

t,c
h(t