Определитель матрицы Определитель

Пусть   — квадратная матрица порядка   с коэффициентами из кольца  , .

Определение 1. Определителем¹⁾   матрицы   называется алгебраическая сумма всевозможных произведений коэффициентов  , взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Иначе говоря,

,

где суммирование ведется по всем подстановкам порядка  ,   — знак подстановки  .

Замечание. Часто определитель матрицы определяют рекурсивно, используя разложение по первой строке (частный случайтеоремы Лапласа).

Пример 1. Определитель матрицы порядка 2:   равен  .

Пример 2. Определитель матрицы порядка 3 вычисляется по формуле

.

При вычислении определителей третьего порядка полезно помнить так называемое «правило треугольника»: произведение элементов, соединенных линиями, на первой диаграмме берется со знаком «+» произведение элементов, соединенных линиями, на второй диаграмме берется со знаком «-»

Свойства определителя

Предложение 1. Определитель квадратной матрицы   и определитель транспонированной к ней матрицы   совпадают:  .

Предолжение 2. Если в определителе матрицы   поменять местами любые две строки, то он изменит знак на противоположный.

Предложение 3. Справедливы следующие свойства:

1. ,

2. .

Предложение 4. Определитель с нулевой строкой равен нулю.

Предложение 5. Если в квадратной матрице   две строки совпадают, то  .

Предложение 6. Определитель не меняется, если к некоторой его строке прибавить другую строку, умноженную на ненулевой скаляр.

Предложение 7. Пусть   — верхнетреугольная матрица порядка  , тогда  .

Предложение 8. Пусть   и   квадратные матрицы порядка  . Тогда  .

Пересечение и сумма подпространств Пересечение и сумма

Пусть   и   — подпространства векторного пространства   над полем  .

Предложение 1. Пересечение   подпространств   и   является векторным пространством.

Замечание 1. Объединение   пространств   и   не обязано быть векторным пространством, как показано в следующем примере.

Пример 1. Пусть  , то есть множество векторов вида  , где  . Базисом этого пространства служат вектора   и  . Положим   и   — линейные оболочки векторов   и  , соответственно. Сумма векторов   не содержится в  .

Определение 1. Суммой¹⁾ подпространств   и   называется наименьшее подпространство в  , содержащее   и  , то есть

.

Вообще говоря, можно определить сумму любого конечного числа подпространств:

Определение 1'. Сумма подпространств   в   — это наименьшее подпространство, содержащее все  , то есть

.

Предложение 2. Пусть   и   — подпространства конечномерного векторного пространства  . Тогда

.

Внутренняя прямая сумма

Определение 2. Пространство   называется прямой суммой²⁾ своих векторных подпространств  , если каждый вектор   может быть представлен одним и только одним способом в виде суммы

 где  .

Прямая сумма векторных пространств обозначается через  .

Замечание 2. Определенная таким образом прямая сумма называется внутренней.

Пример 2. Пусть   и подпространства   и   определены также, как в примере 1. Тогда сумма   является прямой, то есть  .

Предложение 3. Сумма   является прямой тогда и только тогда, когда выполнено любое из следующих двух условий:

1.  для  ,

2. .

Следствие 1. Если  , то сумма   является прямой тогда и только тогда, когда  .

Предложение 4. Для любого  -мерного подпространства   векторного пространства   размерности   найдется такое  -мерное подпространство  , что  .

Определение 3. Для подпространства   векторного пространства   подпространство   из предложения 4, то есть такое, что  , называется дополнительным подпространством³⁾ к  .