Квадратичная форма Определение

Пусть   — ассоциативное коммутативное кольцо,   — (левый)  -модуль.

Определение 1. Квадратичной формой¹⁾ на  -модуле   называется отображение  , обладающее следующими свойствами:

1.  для любых  ;

2. отображение  , определенное формулой  , являетсябилинейной формой на  .

Билинейная форма   называется билинейной формой, ассоциированной с квадратичной формой²⁾  .

Замечание 1. Билинейная форма  , ассоциированная с некоторой квадратичной формой, всегда симметрична.

Для каждой билинейной формы   на модуле   можно определить квадратичную форму   по правилу:

 для любого  .

Тогда ассоциированная с ней билинейная форма равна  .

Квадратичная форма на векторном пространстве Определение

Пусть   — векторное пространство над полем   характеристики  .

В этом случае более общее понятие квадратичной формы на модуле удобно переформулировать следующим образом.

Определение 1. Квадратичной формой¹⁾ на векторном пространстве   называется отображение  , определяемое некоторой симметричной билинейной формой   на  :

 для всех  .

Билинейная форма   при этом называется полярной²⁾ к квадратичной форме  .

Замечание. Очевидно, что это определение является частным случаем понятия квадратичной формы на модуле из статьиКвадратичная форма. Но верно и обратное, если   — квадратичная форма в «более общем» смысле, то полагая  , мы убеждаемся, что  . Таким образом, для векторных пространств над полем, характеристика которого отлична от 2, эти определения эквивалентны. Кроме того, существует взаимно однозначное соответствие между квадратичными формами на и симметричными билинейными формами на  .

Матрица квадратичной формы

Определение 2. Пусть   — квадратичная форма на конечномерном векторном пространстве  . Матрицей квадратичной формы³⁾   относительно базиса   пространства   называется матрица билинейной формы  , где   — полярная к   билинейная форма, то есть

, где  .

Если в базисе   вектор   имеет разложение  , то

.

Определение 3. Рангом квадратичной формы⁴⁾   называется ранг матрицы   в некотором базисе.

Предложение 1. Ранг квадратичной формы не зависит от выбора базиса в пространстве  .

Определение 4. Говорят, что квадратичная форма   на конечномерном векторном пространстве   имеет в базисе  канонический вид⁵⁾, если матрица   квадратичной формы в этом базисе диагональна, то есть   для каждого вектора  .

Предложение 2. Пусть   — квадратичная форма на конечномерном векторном пространстве   над полем  . Тогда в  существует базис  , в котором   имеет канонический вид

.

Квадратичная форма на вещественном векторном пространстве

Пусть   — конечномерное векторное пространство над полем действительных чисел  . Пусть   — квадратичная форма на  .

Закон инерции квадратичных форм

Определение 1. Говорят, что квадратичная форма   в базисе   имеет нормальный вид, если значение квадратичной формы на произвольном векторе   вычисляется по формуле

.

Предложение 1. В векторном пространстве   существует базис, в котором квадратичная форма   имеет нормальный вид.

Доказательство.

Предложение 2. Индексы   и   в нормальном виде квадратичной формы

не зависят от способа приведения формы к нормальному виду.

Определение 2. В нормальном виде квадратичной формы

1. число   называется положительным индексом инерции;

2. число   — отрицательным индексом инерции;

3. число   — индексом инерции;

4. пара   называется сигнатурой квадратичной формы.