7. 1 Линейные операторы и действия над ними

Пусть V и W – линейные пространства размерностей n и m соответственно. Будем называть оператором, или преобразованием, А, действующим из V в W, отображение вида А:  , сопоставляющее каждому элементу  некоторый элемент  . При этом будем использовать обозначение  А  или  А .

Назовем нулевым оператор, обозначаемый символом О и отображающий все элементы пространства V в нулевой элемент пространства W, т. е. О: О  . Оператор А, действующий из V в W, называется линейным, если для любых двух элементов   из V и произвольного числа   выполняются следующие свойства:

1)     А А +А  (свойство аддитивности);

2)     А А  (свойство однородности).

Оператор Е, определяемый равенством Е  для любого   из V, назовем тождественным, или единичным. Оператор (–А), определяемый равенством (–А ) –А  для всех   из V, назовем противоположным.

Пусть А  и В – два линейных оператора, действующих из V в W. Суммой этих операторов назовем оператор А + В, определяемый равенством (А + В) А +В  для любого   из V. Легко видеть, что сумма линейных операторов тоже будет линейным оператором.

Сложение линейных операторов обладает, очевидно, следующими свойствами:

1. А + В = В +А.

2. (А +В) +Е = А + (В + Е).

3. А + О = А  для любого А.

4. (–А) + А = О.

Произведением  линейного  оператора  на  скаляр  α  назовем оператор αА, определяемый равенством  А) А . Ясно, чтоαА – тоже линейный оператор.

Для умножения линейного оператора на число справедливы, очевидно, следующие свойства:

1.  А = А; 0А = О; (–1)А= –А.

2.  βА)  А.

3.  А =  А + βА.

4.  (А + В) =  А +  В.

Обозначим через   множество всех линейных операторов, действующих из V в W.

Произведением линейных операторов А и В из   называется оператор АВ, определяемый следующим образом: (А В) А(В  для любого   из V. Произведение линейных операторов тоже будет линейным оператором.

Справедливы следующие свойства умножения линейных операторов:

1.  АВ) = ( А )В.

2. (АВ)Е = А (ВЕ).

3. (А + В)Е = АЕ + ВЕ,  Е(А + В) = ЕА + ЕВ.

Умножение линейных операторов, вообще говоря, некоммутативно.

Легко увидеть, что для всякого линейного оператора А  А . При этом если А  только при  , то оператор называетсяневырожденным; если же найдется такой вектор  , что А , то оператор А – вырожденный.

Линейный оператор В  из   называется обратным для оператора А из  , если выполняется соотношение АВ = ВА = Е. Обратный оператор обычно обозначается как А^–1. Для того чтобы линейный оператор А из   имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы он был невырожденным.

Будем говорить, что линейный оператор А действует взаимно однозначно из V в V, если любым двум различным элементам   и   отвечают различные элементы  А  и  А . Для того чтобы линейный оператор А  из   имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы этот оператор действовал взаимно однозначно из V в V.

Ядром линейного оператора А  из   называется множество всех тех элементов   пространства V, для которых А . Обозначается как kerА. Для того чтобы оператор А имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы kerА =  .

Областью значений линейного оператора А из   или образом пространства V при преобразовании А называется множество всех тех элементов   пространства V, представимых в виде  А , где  . Обозначается как imА. Для того чтобы оператор А имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы imА = V. Область значений и ядро линейного оператора А из   являются подпростанствами в V.

Рангом линейного оператора А называется число, обозначаемое символом rangА и равное размерности области значений оператора АrangА=dim(imА). Для того чтобы линейный оператор А из   имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы rangА = dimV = n.

Размерность ядра kerА называется дефектом линейного оператора А. Сумма ранга и дефекта линейного оператора равна размерностиn пространства V.