
- •Список основных статей по линейной алгебре
- •Аффинное пространство Точечно-векторная аксиоматика аффинного пространства
- •Для всех .
- •Базис и размерность векторного пространства Определение
- •Переход от одного базиса к другому
- •Билинейное отображение Определение
- •Билинейная форма
- •Матрица билинейной формы
- •Векторное пространство Определение
- •Подпространство векторного пространства
- •Для любых векторов ;
- •Для всех .
- •Факторпространство
- •Двойственное векторное пространство Определение
- •Для всех ;
- •Для всех .
- •Корневые подпространства
- •Квадратичная форма Определение
- •Квадратичная форма на векторном пространстве Определение
- •Матрица квадратичной формы
- •Квадратичная форма на вещественном векторном пространстве
- •Закон инерции квадратичных форм
- •Положительная определенность
- •Линейная зависимость
- •Линейные комбинации. Линейная оболочка
- •Линейная зависимость
- •Линейное нормированное пространство Определение
- •Линейное отображение векторных пространств Определение
- •Для всех ;
- •Для всех , .
- •Частные случаи
- •Свойства линейного отображения
- •Матрица Основные определения
- •Операции над матрицами Транспонирование
- •Сложение и умножение на скаляр
- •Умножение матриц
- •Матрица линейного отображения Определение
- •Определитель матрицы Определитель
- •Свойства определителя
- •Пересечение и сумма подпространств Пересечение и сумма
- •Внутренняя прямая сумма
- •Внешняя прямая сумма
- •Ранг матрицы Горизонтальный и вертикальный ранг
- •Элементарные преобразования матрицы
- •Минорный ранг
- •Свободный модуль Определение
- •Скалярное произведение Скалярное произведение
- •Евклидово пространство
- •Теорема Лапласа Минор
- •Алгебраическое дополнение
- •Теорема Лапласа
- •Определители 2-го порядка
- •Определители 3-го порядка
- •Определители высших порядков
- •Характеристический многочлен линейного оператора
- •Инвариантные подпространства
- •Собственные вектора и собственные значения
- •Характеристический многочлен
- •Диагонализируемые линейные операторы
- •Системы линейных уравнений Правило Крамера
- •7. 1 Линейные операторы и действия над ними
- •Базис и размерность пространства
Характеристический многочлен линейного оператора
Рассмотрим конечномерное векторное пространство над полем . Зафиксируем на немлинейный оператор . Через будем обозначать матрицу оператора в некотором заранее выбранном базисе.
Инвариантные подпространства
Определение
1. Подпространство
называется инвариантным1) относительно
линейного оператора
,
если
.
Теорема
1. Пространство
является прямой
суммой двух
подпространств
и
,
инвариантных относительно линейного
оператора
,
тогда и только тогда, когда в некотором
базисе матрица оператора
имеет
клеточно-диагональный вид:
.
Собственные вектора и собственные значения
Определение 2. Ненулевой вектор из одномерного подпространства, инвариантного относительно , называется собственным вектором2) оператора . Таким образом, собственный вектор оператора удовлетворяет условию . При этом скаляр называется собственным значением3) оператора .
Пример
1. Пусть
—
двумерное векторное пространство
над полем
действительных чисел
,
и
—
линейный оператор на
,
имеющий в некотором базисе
матрицу
.
Тогда вектор
является
собственным вектором оператора
с
собственным значением
,
а вектор
—
собственным вектором с собственным
значением
.
В этом можно удостовериться, решив
уравнения,
и
.
Определение
3. Подпространство4)
называется собственным
подпространством5) оператора
.
Размерность
называется геометрической
кратностью6) собственного
значения
.
Определение
4. Множество
всех собственных значений линейного
оператора
называется спектром7) этого
оператора и обозначается символом
.
Точка спектра называется простой8),
если ей соответствует геометрическая
кратность 1. Спектр называется простым9),
если каждая точка спектра проста.
Предложение
1. Собственные
векторы, принадлежащие различным
собственным значениям, линейно
независимы.
Сумма
является
прямой.
Пример 2. Опишем спектр линейного оператора на векторном пространстве из примера 1. Так как на двумерном векторном пространстве любой линейный оператор имеет не более двух собственных значений10), то из примера 1 видно, что и образуют простой спектр этого оператора.
Характеристический многочлен
Определение
5. Характеристическим
многочленом11) оператора
называется многочлен
.
Теорема 2. Характеристический многочлен линейного оператора не зависит от выбора базиса, в котором представлена его матрица.
Определение
6. Уравнение
называется характеристическим
уравнением12) оператора
.
Предложение
2. Собственное
значение
оператора
является корнем характеристического
многочлена, т.е.
.
Обратно, любой корень
характеристического
многочлена является собственным
значением оператора
.
Определение
7. Кратность
как
корня многочлена
называется алгебраической
кратностью13) собственного
значения
оператора
.
Теорема 3. Геометрическая кратность собственного значения не превосходит его алгебраической кратности.
Диагонализируемые линейные операторы
Определение
8. Линейный
оператор
называется диагонализируемым,
если существует базис, в котором матрица
этого оператора имеет диагональный
вид
.
Теорема 4. Линейный оператор с простым спектром диагонализируем.
Теорема 5. Пусть — линейный оператор на конечномерном векторном пространстве над полем . Для диагонализируемости необходимо и достаточно выполнения следующих двух условий:
все корни характеристического многочлена лежат в ;
геометрическая кратность каждого собственного значения совпадает с его алгебраической кратностью.
Пример
3. Пусть
—
векторное пространство над полем
действительных чисел
и
—
линейный оператор на
,
имеющий в некотором базисе матрицу
.
Характеристический многочлен этого
оператора равен:
.
Уравнение
не
имеет корней в действительных числах,
поэтому оператор
не
имеет собственных значений.
Пример
4. Пусть
в предыдущем примере векторное
пространство
рассматривается
над полем
комплексных чисел
.
Тогда характеристическое уравнение
оператора
имеет
2 корня
.
Следовательно, оператор
имеет
простой спектр и поэтому диагонализируем.