Раздел 11. Планиметрия Основные понятия

11.1. Найдите величины смежных углов, если:

а) один из них больше второго на 30˚;

б) один из них в 8 раз меньше другого;

в) разность их величин составляет 44˚;

г) отношение их величин равно 2.

Ответы: а) 75˚ и 105˚; б) 20˚ и 160˚; в) ; г) .

11.2. В каждом из смежных углов AOB и BOC проведены соответственно биссектрисы OD и OM.

Найдите величины углов DOB и BOM, если разность их величин равна 14˚.

Ответ: 52^о, 38^о.

11.3. В каждом из смежных углов AOB и BOC проведены соответственно биссектрисы OD и OM. Найдите величины углов AOD и MOC, если их величины относятся, как 2:3.

Ответ: 34˚,54˚.

11.4. В каждом из смежных углов АОС и СОВ проведены внутренние углы соответственно ОМ и ОР так, что . Найдите величины углов MOA и POB, если величина угла MOA в четыре раза больше величины угла POB.

Ответ: 112˚,48˚ .

11.5. Углы САВ и ВАD смежные. Найдите величину угла между перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой СD, и биссектрисой угла САВ, если .

Ответ: 40˚.

11.6. При пересечении двух прямых образовалось четыре угла. Найдите их величины, если:

а) сумма двух углов равна 100˚; б) разность двух углов равна 20˚; в) сумма трех углов равна 300˚.

Ответ:

11.7. Один из двух внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей на 60˚ меньше другого. Найдите больший из этих углов.

Ответ: 120˚ .

11.8. Один из двух внутренних углов при параллельных прямых и секущей в 17 раз больше другого. Найдите меньший из этих углов.

Ответ: 10˚ .

Треугольники

11.9. Углы треугольника пропорциональны числам 3, 7 и 8 соответственно. Найдите наибольший угол треугольника.

Ответ: 80˚.

11.10. Угол при вершине равнобедренного треугольника на 60˚ больше угла при основании. Найдите угол при основании треугольника.

Ответ: 40˚.

11.11. В равнобедренном треугольнике угол, смежный с углом при вершине треугольника, равен 70˚. Найдите угол при основании треугольника.

Ответ: 35˚ .

11.12. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 26 см, а его катеты относятся, как 5:12. Найдите больший катет треугольника.

Ответ: 24 .

11.13. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 12 см, а гипотенуза больше другого катета на 8 см.Найдите площадь треугольника.

Ответ: 30.

11.14. Найдите площадь равнобедренного треугольника по его гипотенузе, равной .

Ответ: 8 .

11.15. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найдите длину медианы, проведенной к гипотенузе.

Ответ: 5.

11.16. В прямоугольном треугольнике медиана, опущенная из вершины прямого угла, равна одному из катетов. Найдите меньший угол треугольника.

Ответ: 30˚.

11.17. В прямоугольном треугольнике острые углы относятся, как 1:2. Больший катет равен . Найдите радиус описанной окружности.

Ответ: 4.

11.18. В прямоугольном треугольнике АВС . Около треугольника описана окружность с центром в точке О. Найдите величину .

Ответ: 100˚.

11.19. Диаметр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 10, а один из катетов равен 6. Найдите другой катет.

Ответ: 8.

11.20. Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 10 и 26. Найдите радиус вписанной окружности.

Ответ: 4.

11.21. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 20 см, а косинус одного угла равен 0,8. Найдите больший катет.

Ответ: 16 см.

11.22. В прямоугольном треугольнике тангенс одного угла равен 0,6, а меньший катет равен 3. Найдите больший катет.

Ответ: 5.

11.23 .В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 3 см, а котангенс прилежащего угла – 0, 75. Найдите гипотенузу.

Ответ: 5 см.

11.24. Из вершины прямого угла А прямоугольного треугольника к гипотенузе проведены медиана АМ и высота АК. Найдите длину отрезка МК, если катеты равны 6 и .

Ответ: 0,5.

11.25. Катеты прямоугольного треугольника относятся, как 1:3. Найдите высоту треугольника, опущенную из вершины прямого угла, если гипотенуза равна 40.

Ответ: 12.

11.26. Из одной точки проведены перпендикуляр и две наклонные длиной 10 см и 17 см к данной прямой. Проекции наклонных относятся, как 2:5. Найдите длину перпендикуляра.

Ответ: 8 см.

11.27. В прямоугольный треугольник с катетами 3 и 5 вписан квадрат, имеющий с треугольником общий прямой угол. Найдите периметр квадрата.

Ответ: 7,5 .

11.28. В прямоугольный треугольник с углом 60˚ вписан ромб так, что угол в 60˚ у них общий, остальные три вершины ромба лежат на сторонах треугольника. Найдите длину общего катета, если длина стороны ромба равна .

Ответ: 1,8.

11.29. В равнобедренный прямоугольный треунольник вписан квадрат таким образом, что две его вершины лежат на гипотенузе, а две другте – на катетах. Сторона квадрата равна 3. Найдите длину гипотенузы.

Ответ: 7 .

11.30. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан прямоугольник таким образом, что он имеет с треугольником общий прямой угол. Периметр этого прямоугольника равен 25 см. Найдите катет треугольника.

Ответ: 12,5.

11.30. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан ромб так, что один острый угол у них общий и все четыре вершины ромба лежат на сторонах треугольника. Найдите стороны ромба, если длина катета равна .

Ответ: 0,4.

11.31. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10, а проекция меньшего катета на гипотенузу – 3,6. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Ответ: 2 .

11.32. В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка касания окружности и гипотенузы делит ее на отрезки 3 и 10. Найдите больший катет.

Ответ: 12.

11.33. Радиусы вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника равны соответственно 2 и 5. Найдите больший катет треугольника.

Ответ: 8.

11.34. Окружность касается большего катета прямоугольного треугольника треугольника и проходит через вершину противолежащего острого угла. Найдите радиус окружности, если ее центр лежит на гипотенузе, а длины катетов равны 3 и .

Ответ: 2,1.

11.35. Найдите радиус круга, описанного около равностороннего треугольника со стороной .

Ответ: 12.

11.36. Площадь правильного треугольника равна . Найдите длину его биссектрисы.

Ответ: 1.

11.37. В равностороннем треугольнике высота равна 9. Найдите радиус вписанной в треугольник окружности.

Ответ: 3.

11.38. Радиус окружности равен 10. Найдите длину медианы вписанного в нее правильного треугольника.

Ответ: 15.

11.39. Около равностороннего треугольника описана окружность радиуса , через центр которой проведена прямая, параллельная одной из сторон треугольника. Найдите длину отрезка прямой, заключенного между двумя другими сторонами треугольника.

Ответ: 4.

11.40. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 5, а косинус угла при основании – 0,6. Найдите радиус вписанного круга.

Ответ: 1,5.

11.41. В треугольнике АВС известно, что угол А равен 45˚ и котангенс угла В равен 0,25. Найдите сторону АВ, если площадь треугольника равна 10.

Ответ: 5 .

11.42. Серединный перпендикуляр к боковой стороне АВ равнобедренного треугольника АВС пересекает сторону АС в ее середине О. Найдите расстояние ОВ, если длина АС равна 20 см.

Ответ: 10 см .

11.43. Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника, боковая сторона которого равна , а угол при вершине 60˚.

Ответ: 4 .

11.44. Периметр равнобедренного треугольника АВС (АВ=ВС) равен 110, а отрезок, соединяющий середины боковых сторон, равен 15. Найти длину боковой стороны.

Ответ: 40.

11.45. Угол при вершине равнобедренного треугольника АВС (АВ=ВС) равен , а его площадь равна 360. Найти длину боковой стороны треугольника (sin =0,8).

Ответ: .

11.46. В равнобедренный треугольник вписана окружность радиуса . Угол при основании 60˚. Найдите основание.

Ответ: 6.

11.46. Основание равнобедренного треугольника в 3 раза меньше его боковой стороны, а его периметр равен 14 см. Найдите основание треугольника.

Ответ: 2 .

11.47. В равнобедренном треугольнике основание равно , угол при вершине 120˚. Определите проекцию высоты, проведенной к основанию, на боковую сторону.

Ответ: 3.

11.48. Найдите высоту, опущенную на боковую сторону равнобедренного треугольника, если высота, проведенная к основанию, равна и угол при вершине В равен 120˚.

Ответ: .

11.49. В равнобедренном треугольнике углы при основании 30˚, а высота, опущенная на это основание, равна 3. Найдите радиус описанной окружности треугольника.(6)

Ответ: .

11.50. Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника с основанием 16 и высотой 4.

Ответ: 10.

11.51. Биссектриса внешнего угла равнобедренного треугольника АВС при основании АС образует с основанием угол 126˚. Найдите величину угла АВС.

Ответ: 36˚.

11.52. Внутри треугольника АВС проведена к стороне ВС прямая AD так, что угол CAD равен углу ACD. Периметры треугольников ABC и ABD 18 см и 11 см соответственно. Найдите длину AC.

Ответ: 7 см.

11.53. Радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 5, сторона АВ равна 5, высота ВН равна 4. Найдите длину стороны ВС.

Ответ: 8.

11.54. В треугольник вписан ромб, угол которого совпадает с углом треугольника. Стороны треугольника, заключающие этот угол, равны 12 и 18. Найдите сторону ромба.

Ответ: 7,2.

11.55. В треугольнике дана сторона и противолежащий ей угол 30˚, а также вторая сторона . Найдите третью сторону.

Ответ: 3.

11.56. В треугольнике известны две стороны, 6 см и 9 см соответственно, и угол между ними 30˚. Найдите площадь этого треугольника.

Ответ: 13,5.

11.57. В треугольнике АВС величина угла при вершине С равна π/6. Найдите синус угла В, если АС=12,3 и АВ=61,5.

Ответ: 0,1.

11.58. В треугольнике АВС углы В и С равны соответственно π/3 и π/4. Найдите длину стороны АС, если АВ= .

Ответ: 10,5.

11.59. В треугольнике АВС проведена медиана АК, равная и составляющая со стороной АС угол 30˚. Найдите ВС, если угол ВСА равен 45˚.

Ответ: 6,5 .

11.60. В треугольнике АВС даны три стороны . Найдите медиану .

Ответ: 2.

11.61. Найдите меньшую высоту треугольника со сторонами 13, 14, 15.

Ответ: 11,2 .