34. Дифференциальное уравнение упругой линии балки. Примеры

При изгибе ось балки искривляется, а поперечные сечения перемещаются поступательно и поворачиваются вокруг нейтральных осей, оставаясь при этом нормальными к изогнутой продольной оси (рис. 8.22). Деформированная (изогнутая) продольная ось балки называется упругой линией, а поступательные перемещения сечений, равные перемещениям y=y(x) их центров тяжести сечений – прогибами балки.

Между прогибами y(x) и углами поворота сечений θ(x) существует определенная зависимость. Из рис. 8.22 видно, что угол поворота сечения θ равен углу φ наклона касательной к упругой линии (θ и φ - углы с взаимноперпендикулярными сторонами). Но согласно геометрическому смыслу первой производной y/=tgθ. Следовательно, tgθ=tgφ=y/.В пределах упругих деформаций прогибы балок обычно значительно меньше высоты сечения h, а углы поворота θ не превышают 0.1 – 0.15 рад. В этом случае связь между прогибами и углами поворота упрощается и принимает вид θ=y/.Определим теперь форму упругой линии. Влияние перерезывающих сил Q на прогибы балок, как правило, незначительно. Поэтому с достаточной точностью можно принять, что при поперечном изгибе кривизна упругой линии зависит только от величины изгибающего момента Mz и жесткости EIz (см. уравнение (8.8)):.

В то же время в неподвижной системе координат кривизна упругой линии, как и всякой плоской кривой,. (8.27)Приравнивая правые части (8.26) и (8.27) и учитывая, что правила знаков для Mz и y// были приняты независимо друг от друга, получаем(8.28) Это равенство называется дифференциальным уравнением упругой линии. При малых деформациях второе слагаемое в знаменателе мало по сравнению с единицей (при θ=0.1 рад (y/)2=0.01) и им можно пренебречь. В результате получим приближенное дифференциальное уравнение упругой линии балки

(8.29) Выбор знака в правой части (8.29) определяется направлением координатной оси y, так как от этого направления зависит знак второй производной y//. Если ось направлена вверх, то, как видно из рис. 8.23, знаки y// и Mz совпадают, и в правой части надо оставить знак плюс. Если же ось направлена вниз, то знаки y// и Mz противоположны, и это заставляет выбрать в правой части знак минус.Заметим, что уравнение (8.29) справедливо только в пределах применимости закона Гука и лишь в тех случаях, когда плоскость действия изгибающего момента Mz содержит одну из главных осей инерции сечения.

33. Расчет на прочность при изгибе. Балки рассчитывают на прочность по наибольшим нормальным напряжениям, возникающим в их поперечных сечениях. При поперечном изгибе балок наряду с нормальными возникают и касательные напряжения, обусловленные наличием поперечной силы, но они в подавляющем большинстве случаев невелики и при расчетах на прочность не учитываются. Прочность балки обеспечена, если наибольшие по абсолютному значению нормальные напряжения, возникающие в опасном сечении, не превышают допустимых. Для балки, поперечные размеры которой по всей длине постоянны, опасное сечение то, в котором возникает наибольший по модулю изгибающий момент. Наибольшие нормальные напряжения возникают в точках опасного поперечного сечения, максимально удаленных от нейтральной оси. Эти точки принято называть опасными. Значения максимальных напряжений в опасных точках найдем по формуле : ,где и - расстояния от нейтральной оси до наиболее удаленных точек соответственно в растянутой и сжатой зонах сечения.

Если материал балки хрупкий, например закаленная сталь, чугун, текстолит и др., то расчет на прочность при изгибе проводят по напряжениям растяжения и сжатия. У хрупких материалов предел прочности при сжатии выше предела прочности при растяжении . Следовательно, поперечным сечениям балок из хрупких материалов целесообразно придавать асимметричную форму относительно нейтральной оси (рис. 1) и располагать балку так, чтобы большая часть материала находилась в растянутой зоне.

Таким образом, при расчетах балок из хрупкого материала используются два условия прочности: для растянутой зоны ; для сжатой зоны .Причем наилучшее использование материала происходит при форме сечения, удовлетворяющей условию .

При расчете балок из пластичных материалов, например коуглеродистой стали или цветных металлов, допускаемые напряжения растяжения и сжатия одинаковы: . Поэтому для таких балок целесообразными являются сечения, симметричные относительно нейтральной оси (рис. 2), так как в этом случае наиболее удаленные точки в растянутой и сжатой зонах сечения располагаются на одинаковом расстоянии y = h/2 от нейтральной оси. И, следовательно, .Разделим числитель и знаменатель правой части этого равенства на h/2: .Величина , выражаемая в или , называется моментом сопротивления сечения при изгибе.
Для прямоугольного сечения (рис.2), размеры которого , момент сопротивления .Для круглого сечения .Наиболее экономичными при изгибе являются такие формы сечения, при которых материал бруса расположен как можно дальше от нейтральной оси. У таких брусьев при наименьшей затрате материалов получается наибольший момент сопротивления . Поэтому и возникли профили стандартного проката (рис. 2), все необходимые геометрические характеристики которых содержатся в ГОСТ 8239-72 "Сталь горячекатаная. Балки двутавровые", ГОСТ 8240-72 "Швеллеры".Таким образом, наибольшие напряжения растяжения или сжатия в симметричном относительно нейтральной оси сечения находят по формуле и условие прочности балки из пластичного материала имеет вид , исходя из которого выполняют три вида расчетов.Проектный расчет. Приняв , по изгибающему моменту в опасном сечении находят требуемое значение момента сопротивления:. Затем, исходя из принятой для балки формы поперечного сечения, находят его размеры.Расчет допускаемой нагрузки выполняется при по формуле . Затем, исходя из схемы нагружения балки, находят допускаемое значение нагрузки.Проверочный расчет. Определив максимальный изгибающий момент и момент сопротивления сечения, находят по формуле значение и сравнивают его с .