2.3.2. Определения и формулы к решению задач 271 – 280

Работа силового векторного поля на дуге равна криволинейному интегралу по дуге от функций :

. (2.24)

Е сли дуга АВ линии задана уравнением (рис. 9), то и от криволинейного интеграла легко перейти к обычному определенному интегралу:

Рис. 9

. (2.25)

З а д а ч а 13. Вычислить работу силового поля при обходе против часовой стрелки треугольного контура с вершинами .

Р е ш е н и е.

Заданный контур , составленный сторонами треугольника , изображен на рис. 10.

Найдем уравнение стороны АВ, используя уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

Рис. 10 или .

По формуле (2.24) получим

Разобьем этот интеграл по замкнутому контуру на три интеграла, соответствующих отрезкам АВ, ВС, СА:

.

Учтем, что на отрезке

АВ , , х изменяется от 1 до 2;

ВС , , х изменяется от 2 до 1;

СА , , у изменяется от 3 до 2.

Тогда

2.4. Краткие теоретические сведения к контрольной работе 8

2.4.1. Определения и формулы к решению задач 281 – 290

Числовым рядом называют выражение

, (2.26)

где – числа, члены ряда.

Можно выполнить только конечное число сложений. Сумму первых п членов ряда называют п-й частичной суммой ряда

. (2.27)

Сравните формулы (2.26) и (2.27).

По формуле (2.27) получим последовательность чисел:

. (2.28)

Суммой ряда называют предел последовательности частичных сумм:

. (2.29)

Если предел существует, т. е. S – конечное число, то говорят, что ряд сходится, если нет – ряд расходится.

З а д а ч а 14. Задан числовой ряд . Составить формулу общего члена ряда. Вычислить частичные суммы и сумму ряда.

Р е ш е н и е.

Члены заданного ряда: . Формула общего члена ряда: . Например, .

Вычислим частичные суммы ряда:

Результаты вычислений, представленные на рис. 11, показывают, что с увеличением п частичные суммы ряда приближаются к числу 4,2, т. е.

. Значит, сумма заданного ряда S = 4,2.

Рис. 11

Полученный результат можно проверить. Заданный числовой ряд определяет сумму членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем . Известно, что сумма членов этой прогрессии .

Итак, .

2.4.2. Определения и формулы к решению задач 291 – 300

Ряд вида

(2.30)

называют функциональным, его члены – функции .

При каждом значении аргумента функциональный ряд переходит в числовой ряд, его можно исследовать на сходимость. Множество всех значений аргумента, при которых ряд (2.30) сходится, называют областью сходимости функционального ряда.

Наибольшее значение имеют степенные ряды:

, (2.31)

где – числа, коэффициенты ряда.

Для любой функции , имеющей производные любого порядка в точке и ее окрестности, можно построить степенной ряд Тейлора:

. (2.32)

Частный случай ряда Тейлора при называют рядом Маклорена:

. (2.33)

Известны ряды Маклорена для всех основных элементарных функций, например:

; (2.34)

; (2.35)

. (2.36)

В формулах (2.34) – (2.36) справа указаны интервалы сходимости, в которых эти ряды имеют суммы, равные указанным слева функциям. Такие ряды используются при вычислениях в калькуляторах и компьютерах.

При решении задач нам необходимо воспользоваться теоремой Лейбница:

если в знакочередующемся числовом ряде

члены таковы, что и , то ряд сходится и его сумма S не превосходит первого члена , т. е. .

З а д а ч а 15. Вычислить приближенно с точностью функцию Лапласа при .

Р е ш е н и е.

Используем ряд (2.34) в виде

.

При получим:

.

Степенные ряды внутри интервала сходимости можно интегрировать почленно. Значит,

.

Сколько членов ряда необходимо учесть, чтобы обеспечить заданную точность ?

Если учтем три члена, то отброшенная часть составляет ошибку . Итак, ошибка ряда равна модулю суммы знакочередующегося ряда . Его члены по модулю убывают и общий член стремится к нулю. Значит, по теореме Лейбница сумма этого ряда меньше его первого члена, т. е. , и заданная точность будет обеспечена.

Таким образом, с заданной точностью находим:

.

Выполните проверку по таблицам функции Лапласа [2].