2.2.4. Определения и формулы к решению задач 251 – 260
Необходимо найти общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка вида:
.
(2.18)
Уравнение
(2.19)
называют однородным уравнением, соответствующим неоднородному уравнению (2.18). Его характеристическое уравнение имеет вид:
. (2.20)
Сначала решаем
уравнение (2.20), т. е. находим его корни.
По теоремам 1, 2 получаем общее решение
вспомогательного уравнения (2.19).
Т е о р е м а 3. О структуре общего решения неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка (2.18).
Если
− общее решение однородного уравнения
(2.19),
− какое-либо частное решение неоднородного
уравнения (2.18), то общее решение
неоднородного уравнения (2.18) будет иметь
вид:
. (2.21)
Как находить для одного частного случая правой части , рассмотрим на примере.
З а д а ч а 11. Найти
общее решение уравнения
.
Р е ш е н и е.
Составим
соответствующее однородное уравнение:
и его характеристическое уравнение:
.
Корни характеристического уравнения
действительные различные. По теоремам
1, 2 получим общее решение однородного
уравнения:
Если правая часть
неоднородного уравнения имеет вид:
,
где
– многочлен п-й
степени, и ни один из действительных
корней характеристического уравнения
(
)
не равен заданному числу
,
то частное решение неоднородного
линейного дифференциального уравнения
следует ис кать в виде
,
где
– многочлен п-й
степени с неизвестными коэффициентами.
В данной задаче
.
Значит,
.
Причем
.
Тогда частное решение необходимо искать
в виде
.
Найдем коэффициенты
А
и В
многочлена
:
,
.
Подставим
в исходное уравнение и получим:
,
сократим последнее
уравнение на
и приведем подобные члены:
,
.
Приравниваем
коэффициенты при одинаковых степенях
х
в левой и правой частях равенства:
Таким образом,
частное решение уравнения имеет вид:
.
По теореме 3 получаем искомое общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения:
.
З а м е ч а н и е. В
задачах 252 − 254, 256, 260 правая часть
уравнений имеет вид:
и корни
характеристического уравнения не равны
нулю. Значит, частное решение неоднородного
уравнения следует искать в виде
,
где А,
В,
С
– коэффициенты, подлежащие определению.
2.3. Краткие теоретические сведения к контрольной работе 7
2.3.1. Определения и формулы к решению задач 261 – 270
Для вычисления
двойного интеграла от функции
по области D
выполняется переход к двукратному
интегралу с учетом уравнений границ
области D.
Для областей
,
изображенных на рис. 4, 5 переход к
двукратному интегралу осуществляется
по формулам:
;
(2.22)
.
(2.23)
Рис. 4 Рис.5
Для примера
вычислим двойной интеграл
по области D,
ограниченной линиями
и изображенной на рис. 6.
П
о
формуле (2.22) найдем:
.
Вычисление начнем с внутреннего интеграла по у, при этом с величиной х обращаемся как с константой:
Рис. 6
.
При решении задач
261 – 270 используем следующий геометрический
факт: двойной интеграл
при
в области D
равен объему тела с основанием D,
ограниченного сверху поверхностью
и боковой цилиндрической поверхностью
с образующими, параллельными оси Oz
и направляющей, которая является границей
области D.
З а д а ч а 12.
Вычислить объем тела, ограниченного
поверхностями
.
Р е ш е н и е.
Заданное тело Т
представлено на рис. 7 «криволинейной»
призмой
.
Снизу тело Т
ограничено областью D
– частью плоскости z
= 0 (или хОу).
Плоские боковые
поверхности
− соответственно части плоскостей
.
Сверху тело Т
ограничено поверхностью
– частью параболического цилиндра
.
0
Рис. 7 Рис. 8
Поясним построение
поверхности О1С1С2О2.
Уравнение
не содержит переменной х.
Рассмотрим его на плоскости уОz,
где оно определяет параболу (линия
– часть этой параболы). Переместим эту
параболу вдоль оси Ох
и получим цилиндрическую поверхность
.
Объем тела Т равен двойному интегралу:
.
Область D
изображена на рис. 8. Расставим пределы
интегрирования и получим двукратный
интеграл
.
y
= x
y
= 2 x
ед. куб.
Выполним проверку.
Площадь основания призмы
.
Значит, средняя высота призмы
,
что визуально согласуется с чертежом.