2.2.2. Определения и формулы к решению задач 231 – 240

Уравнение вида

(2.11)

называют однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка. Его общее решение содержит две произвольные постоянные.

Например, общим решением уравнения будет функция .

Действительно, если найти и подставить в исходное уравнение , то получим:

;

;

.

Значит, функция действительно является решением уравнения .

Для дифференциального уравнения (2.11) составим характеристическое уравнение:

. (2.12)

Т е о р е м а 1. О структуре общего решения однородного линейного дифференциального уравнения.

Если функции и − два каких-либо частных линейно независимых решения однородного уравнения (2.11), то

, (2.13)

есть общее решение этого уравнения ( , – произвольные постоянные).

Т е о р е м а 2. О частных решениях однородного линейного дифференциального уравнения.

Если и − два различных действительных корня характеристического уравнения (2.12), то функции

(2.14)

являются частными линейно независимыми решениями уравнения (2.11);

если действительные корни равны, т. е. , то

; (2.15)

если − пара сопряженных комплексных корней, то

. (2.16)

З а м е ч а н и е. Решения и называют линейно независимыми, если их отношение не является постоянным, т. е. .

З а д а ч а 8. Найти общее решение уравнения .

Р е ш е н и е.

Составим характеристическое уравнение: , – его действительные различные корни. По теоремам 1 и 2 получаем: ; . Проверка выполнена выше.

З а д а ч а 9. Найти общее решение уравнения .

Р е ш е н и е.

Составим характеристическое уравнение: , – его равные действительные корни. По теоремам 1 и 2 получаем: ; . Выполните проверку.

2.2.3. Определения и формулы к решению задач 241 – 250

Общее решение дифференциального уравнения содержит произвольные постоянные. Для определения этих постоянных, т. е. для выделения из общего решения частного решения, удовлетворяющего конкретной задаче, необходимы дополнительные условия, которые называют начальными. Вместе с дифференциальным уравнением они составляют задачу Коши. Для однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка задача Коши имеет вид:

. (2.17)

При решении задачи Коши (2.17) необходимо найти функцию у(х), удовлетворяющую уравнению и начальным условиям (2.17), которые требуют, чтобы при заданном значении аргумента ( ) значения функции и ее производной были равны заданным числам ( ).

З а д а ч а 10. Решить задачу Коши ;

Р е ш е н и е.

Найдем общее решение уравнения.

Составим характеристическое уравнение: , – пара комплексных сопряженных корней. Напомним, что – мнимая единица. По теоремам 1 и 2 получаем общее решение исходного уравнения:

. (1)

Выделим из общего решения (1) решение, удовлетворяющее начальным условиям: Из уравнения (1) находим:

. (2)

Из формул (1) и (2) в соответствии с начальными условиями при получаем:

Так как то

Из уравнения (1) находим решение задачи Коши:

.

Выполните проверку.