2.1.4. Определения и формулы к решению задач 201 – 210
Определенный интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:
(2.4)
где
– первообразная от функции
;
– знак двойной подстановки.
Если
(рис. 1), то площадь фигуры, ограниченной
линиями
вычисляется по формуле:
(2.5)
Рис. 1
З а д а ч а 4. Найти
площадь фигуры, ограниченной линиями
Р е ш е н и е.
– прямые линии,
– парабола.
Абсциссы точек
пересечения параболы с осью Ох
находим из уравнения:
и получаем:
.
Так
как абсцисса вершины параболы
равна
,
то в данной задаче
и
.
Строим чертеж (рис. 2).
По формулам (2.5),
(2.4) находим:
Рис. 2 
=
кв. ед.
Выполните проверку по чертежу (по клеточкам).
2.1.5. Определения и формулы к решению задач 211 – 220
Если
направление действия силы
(рис. 3) совпадает с прямолинейным
перемещением [a;
b],
то работа силы
(2.6)
Рис. 3
З а д а ч а 5. Найти
работу силы
при перемещении материальной точки
вдоль оси Ох
на отрезке
.
Р е ш е н и е.
По формуле (2.6) находим работу:
2.2. Краткие теоретические сведения к контрольной работе 6
2.2.1. Определения и формулы к решению задач 221 – 230
Дифференциальным
называют уравнение, содержащее независимую
переменную х,
неизвестную функцию у(х)
и ее производные
:
(2.7)
Порядок старшей производной определяет порядок дифференциального уравнения.
Любая функция
называется решением дифференциального
уравнения (2.7) в области D,
если при подстановке функции
в уравнение она обращает его в тождество
в этой области.
Например, уравнение
(2.8)
является
дифференциальным уравнением первого
порядка. Любая из функций
−
const,
будет решением уравнения (2.8). Действительно,
если у
= 5х,
то
и при подстановке
в уравнение (2.8) получаем тождество:
Данный пример показывает, что уравнение (2.8) имеет множество решений определяемое произвольной постоянной с.
Функцию
,
содержащую одну произвольную постоянную
с
и являющуюся решением дифференциального
уравнения первого порядка:
(2.9)
при некоторых дополнительных условиях, называют общим решением.
Большинство методов решения уравнения (2.9) заключаются в приведении его к уравнению вида
(2.10)
и в последующем интегрировании.
З а д а ч а 6.
Найти общее решение дифференциального
уравнения
Ре ш е н и е.
Задано дифференциальное
уравнение первого порядка. Приведем
его к уравнению вида (2.10). Для этого
заменим
на
.
Получим:
,
умножим обе части этого уравнения на
.
Тогда имеем уравнение вида:
.
В одной его части находится только
переменная у,
в другой – только х.
При этом говорят, что удалось разделить
переменные или получить уравнение с
разделенными переменными. Интегрируем
последнее уравнение:
.Получили
общее решение.
Выполним проверку:
.
Подставим найденные у и в исходное уравнение:
.
Уравнение превратилось в тождество, следовательно общее решение найдено верно.
З а д а ч а 7. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Р е ш е н и е.
Заменим
на
:
.
Умножим полученное уравнение на
:
.
Разделим обе части последнего уравнения
на выражение (1 – х)(3у
+ 4). Получим уравнение, в котором переменные
разделены:
,
его можно интегрировать:
.
При интегрировании используем правило
о линейной замене:
.
Произвольную постоянную интегрирования
с
можно взять в виде
,
так как при изменении с
от
до
также изменяется от
до
.
Тогда
,
;
;
;
;
.
Получили общее решение уравнения.