2.1.2. Определения и формулы к решению задач 181 – 190
Метод замены переменной (способ замены) основан на следующей теореме:
если функция
(2.1)
непрерывная с непрерывной производной и имеет обратную функцию, то
(2.2)
Формула (2.1) вводит
новую переменную t.
Форма этого равенства может быть
различной (см. в примерах ниже), например
в виде
.
Замена переменной не всегда приводит к табличному или хотя бы к более простому интегралу.
Метод интегрирования по частям определяется формулой:
(2.3)
З а д а ч а 2. Найти интегралы методом замены или интегрирования по частям.
Р е ш е н и е.
1) Интеграл по табличным интегралам вычислить нельзя. Введем новую переменную t:
(1)
Найдем дифференциалы
обеих частей равенства (1). Напомним, что
дифференциал
,
т. е. равен произведению производной
функции и дифференциала независимой
переменной.
Итак, из равенства (1) получаем:
или
,
или
.
Отсюда
. (2)
С учетом формул
(1), (2) производим замену переменной х
на переменную t:
.
Получаем табличный интеграл:
С помощью равенства (1) возвращаемся к
исходной переменной
Выполним
проверку:
.
Производная от интеграла равна подынтегральной функции, следовательно, интеграл найден верно.
Принято оформлять решение этой задачи следующим образом:
Рассмотрим примеры интегрирования с использованием замены.
Проверка:
.
Рассмотрим примеры вычисления интегралов с использованием интегрирования по частям.
5)
.
Обозначим:
(1)
(2)
Находим дифференциалы обеих частей равенства (1):
,
т. е.
(3)
Интегрируем равенство (2):
или
(4)
С использованием формул (1) – (4), и применяя метод интегрирования по частям (2.3), получаем:
Решение примера 5 оформляется следующим образом:
6)
2.1.3. Определения и формулы к решению задач 191 – 200
Рациональная
дробь имеет вид:
,
где
– многочлены степени т
и п
соответственно. Если
,
то дробь называют правильной.
Доказано, что
любую правильную рациональную дробь
можно представить суммой дробей вида
Если корни (нули)
знаменателя дроби, т. е. решения уравнения
,
действительные различные (простые), то
правильная рациональная дробь имеет
разложение:
где
– корни знаменателя;
– некоторые коэффициенты, определение
которых будет рассмотрено ниже на
примере. В этом случае интеграл от
рациональной дроби можно представить
суммой интегралов вида
З а д а ч а 3. Найти
интеграл
.
Р е ш е н и е.
В числителе записан многочлен второй степени, а в знаменателе – третьей, значит, дробь правильная.
Решаем уравнение
Получаем:
.
Корни знаменателя простые действительные,
следовательно, подынтегральную дробь
можно представить в виде:
(1)
Приведем правую часть равенства к общему знаменателю:
Дроби равны и равны знаменатели, значит, равны и числители:
или
Приравниваем
коэффициенты при одинаковых степенях
переменной х
и свободные члены:
Решаем систему:
После сложения двух последних уравнений
находим:
Итак,
Выполните проверку.
С учетом уравнения (1) получаем:
