1. Варианты индивидуальных контрольных заданий
1.1. Контрольная работа 5 Неопределенный и определенный интегралы
З а д а ч и 171 – 180. Найти неопределенные интегралы с использованием таблицы интегралов, основных правил интегрирования и правила о линейной замене.
З а д а ч и 181 – 190. Найти неопределенные интегралы методом замены переменной или интегрирования по частям.
З а д а ч и 191 – 200. Найти неопределенный интеграл от рациональной дроби.
З а д а ч и 201 – 210. Найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями.
З а д а ч и 211 –
220. Найти работу силы
,
Н, при перемещении материальной точки
вдоль оси Ох
на отрезке
,
м.
1.2. Контрольная работа 6 Дифференциальные уравнения
З а д а ч и 221 – 230. Найти общее решение дифференциального уравнения.
З а д а ч и 231 – 240. Найти общие решения однородных дифференциальных уравнений.
З а д а ч и 241 – 250. Решить задачу Коши.
З а д а ч и 251 – 260. Найти общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка.
1.3. Контрольная работа 7
Кратные и криволинейные интегралы
З а д а ч и 261 – 270. С помощью двойного интеграла вычислить объем тела ограниченного заданными линиями.
З а д а ч и 271 –
280. Вычислить работу силового поля
при обходе часовой стрелки треугольного
контура с вершинами
.
1.4. Контрольная работа 8
Ряды
З а д а ч и 281 –
290. Задан числовой ряд
. Составить формулу общего члена ряда.
Вычислить частичные суммы ряда
.
Вычислить сумму ряда.
З а д а ч и 291 –
300. Вычислить приближенно с точностью
функцию Лапласа
при заданном значении аргумента
.
З а д а ч и 301 – 310. Найти четыре первых члена разложения в ряд Маклорена решения задачи Коши.
2. Определения, формулы и примеры решения задач
2.1. Краткие теоретические сведения к контрольной работе 5
2.1.1. Определения и формулы к решению задач 171 – 180
Функцию
называют первообразной от функции
на отрезке [a,
b],
если во всех точках этого отрезка
выполняется равенство
.
Например, для
функции
первообразной будет любая из функций
,
так как
и
.
Таким образом, если существует одна
первообразная
от функции
,
то существует целое семейство первообразных
от функции
.
Это семейство первообразных
называют неопределенным интегралом от
функции
и обозначают
.
Итак, по определению
,
если
.
По определению неопределенного интеграла, таблице производных и правилам дифференцирования получаем следующую таблицу интегралов (1 − 16) и правил интегрирования (17 − 19).
-
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19. Если , то
Из первого
табличного интеграла следует:
Правила 17, 18 позволяют постоянный множитель выносить за знак ин-теграла и интегрировать каждое слагаемое в отдельности.
Правило 19 называют правилом о линейной замене.
З а д а ч а 1. Найти неопределенные интегралы:
Р е ш е н и е.
1) При вычислении
интеграла
сначала применим правила 17, 18. Затем
приводим третье, седьмое, восьмое и
девятое слагаемые исходного интеграла
к табличному виду и, используя табличные
интегралы 1 – 16, получаем ответ:
Заданные интегралы 2 − 6 вычисляем с использованием правила 19 и табличных интегралов 3, 4, 9, 2, 1 соответственно:
2)
3)
4)
5)
6)
