1. Элементы линейной алгебры

1. Матрицы. Действия над матрицами.

2. Вычисление определителей.

3. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений: метод Крамера, метод Гаусса, матричный метод.

Решение типового примера

Пример 1.1. Решить систему уравнений:

Решение.

а)По формуле Крамера:

б)Метод Гаусса:

Ответ: x=0; y=-1; z=2;

в)Матричный способ:

А11=1(1 1–3 4)=-11 А12=-1(2 1–3 3)=7 А13=1(2 4–3 1)=5

А21=-1(-2 1–1 4)=6 А22=1(1 1–1 3)=-2 А23=-1(1 4+2 3)=-10

А31=1(-2 3–1 1 )=-7 А32=-1(1 3–1 2)=-1 А33=1(1 1+2 2)=5

А^-1=

А^-1=

Ответ: x=0; y=-1; z=2;

Задачи контрольной работы

В задачах 1.1- 1.20 решить заданную систему линейных уравнений:

• пользуясь формулами Крамера;

• методом Гаусса;

• матричным методом;

1. 1 1.2

1.3 1.4

1.5 1. 6

1.7 1.8

1. 9 1.10

1.11 1.12

1.13 1.14

1.15 1.16

1.17 1.18

1.19 1.20

2. Элементы векторной алгебры на плоскости и в пространстве

2.1.Элементы векторной алгебры на плоскости Программные вопросы

1. Сумма и разность двух векторов.

2. Коллинеарность и компланарность векторов.

3. Проекция вектора на ось.

4. Разложение вектора в системе орт на плоскости и в пространстве. Координаты вектора.

5. Свойства скалярного произведения векторов.

6. Угол между векторами. Длина вектора по его координатам.

7. Условие перпендикулярности двух векторов.

8. Вектор, перпендикулярный двум данным векторам.

9. Площадь треугольника, построенного на двух векторах.

10. Объём пирамиды с вершинами в заданных точках.

Решение типового примера

Пример 2.1.

Даны координаты точек . Пусть .

Требуется:

1. записать векторы и в системе орт и найти длины этих векторов;

2. найти орт вектора ;

3. изобразить векторы и в координатной плоскости ;

4. найти вектора и аналитически и геометрически.

Решение.

1) Известно, что произвольный вектор представляется в системе орт , по формуле:

, (1)

где – координаты вектора в системе координат .

Если заданы точки , , то для вектора =

, (2)

Воспользовавшись (2) и координатами точек , получим:

или . Тогда .

или . Тогда .

Если вектор задан своими координатами, то его длина (модуль) вычисляется по формуле:

(3)

Используя формулу (3), получаем длины векторов и :

,

.

2) Известно, что орт вектора можно найти по формуле:

, т.е. , (4)

Воспользовавшись формулами (4), получим: .

3) Найдем векторы и аналитически.

.

Таким образом, .

.

Таким образом, (рис.1).

Найдем векторы и геометрически (рис.2).