4.2 Примеры решения задач

Пример 4.2.1

Рассматривается модель протекционизма Сальватора (упрощенная версия):

где - доля импорта в ВВП;

-общее число прошений об освобождении от таможенных пошлин;

- число удовлетворенных прошений об освобождении от таможенных пошлин;

- фиктивная переменная, равная 1 для тех лет, в которые курс доллара на международных валютных рынках был искусственно завышен, и 0-для всех остальных лет;

- реальный ВВП;

-реальный объем чистого экспорта;

- текущий период;

-предыдущий период.

Задание.

1. Применив необходимое и достаточное условие идентификации определите, идентифицировано ли каждое из уравнений модели.

2. Определите метод оценки параметров модели.

3. Запишите приведенную форму модели в общем виде.

Решение.

1. Модель представляет с собой систему взаимосвязанных (одновременных) уравнений. Для ответа на вопрос о способе оценки параметров модели проверим каждое ее уравнение на идентификацию.

Модель включает три эндогенные переменные ( , , ) и четыре предопределенные переменные (три экзогенные , , и одну лаговую эндогенную ).

Проверим необходимое условие идентификации для уравнений модели.

1 уравнение.

Это уравнение включает три эндогенные переменные ( , , ) и две предопределенные ( и ). Следовательно, число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, плюс 1, равно числу эндогенных переменных, входящих в уравнение: 2+1=3. Уравнение идентифицировано.

2 уравнение.

Это уравнение включает три эндогенные переменные ( , , ) и одну предопределенную ( ). Следовательно, число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, плюс 1, больше числа эндогенных переменных, входящих в уравнение: 3+1>3. Уравнение сверхидентифицировано.

3 уравнение.

Это уравнение включает три эндогенные переменные ( , , ) и одну предопределенную ( ). Следовательно, число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, плюс 1, больше числа эндогенных переменных, входящих в уравнение: 3+1>3. Уравнение сверхидентифицировано.

Проверим для каждого из уравнений достаточное условие идентификации. Для этого составим матрицу коэффициентов при переменных модели:

1 уравнение	-1					0	0
2 уравнение		-1		0	0		0
3 уравнение			-1	0	0	0

В соответствии с достаточным условием идентификации определитель матрицы коэффициентов, не входящих в исследуемое уравнение, не должен быть равен нулю, а ранг матрицы должен быть не менее, чем число эндогенных переменных модели минус 1, т.е. в данной задаче больше или равен 3-1=2.

1 уравнение.

Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

.

Ее определитель . Ранг этой матрицы . Следовательно, для 1 уравнения достаточное условие выполняется, это уравнение точно идентифицируемо.

2 уравнение.

Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

.

Ранг этой матрицы , так как она содержит отличный от нуля минор второго порядка . Следовательно, для 2 уравнения достаточное условие выполняется, это уравнение сверхидентифицируемо.

3 уравнение.

Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

.

Ранг этой матрицы , так как она содержит отличный от нуля минор второго порядка . Следовательно, для 3 уравнения достаточное условие выполняется, это уравнение сверхидентифицируемо.

2. Таким образом, система в целом сверхидентифицируема, для оценки ее параметров можно применить двухшаговый метод наименьших квадратов.

3. Запишем приведенную форму модели в общем виде:

Пример 4.2.2

Рассматривается структурная модель вида:

Задание.

1. Применив необходимое и достаточное условие идентификации определите, идентифицировано ли каждое из уравнений модели.

2. Определите метод оценки параметров модели.

3. Запишите приведенную форму модели в общем виде.

Решение.

1. Модель представляет с собой систему взаимосвязанных (одновременных) уравнений. Для ответа на вопрос о способе оценки параметров модели проверим каждое ее уравнение на идентификацию.

Модель включает три эндогенные переменные ( , , ) и три предопределенные переменные (экзогенные , , ).

Проверим необходимое условие идентификации для уравнений модели.

1 уравнение.

Это уравнение включает две эндогенные переменные ( и ) и две предопределенные ( и ). Следовательно, число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, плюс 1, равно числу эндогенных переменных, входящих в уравнение: 1+1=2. Уравнение идентифицировано.

2 уравнение.

Это уравнение включает три эндогенные переменные ( , , ) и одну предопределенную ( ). Следовательно, число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, плюс 1, равно числу эндогенных переменных, входящих в уравнение: 2+1=3. Уравнение идентифицировано.

3 уравнение.

Это уравнение включает две эндогенные переменные ( и ) и две предопределенные ( и ). Следовательно, число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, плюс 1, равно числу эндогенных переменных, входящих в уравнение: 1+1=2. Уравнение идентифицировано.

Проверим для каждого из уравнений достаточное условие идентификации. Для этого составим матрицу коэффициентов при переменных модели:

1 уравнение	-1	0			0
2 уравнение		-1		0		0
3 уравнение	0		0		0

1 уравнение.

Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

.

Определитель матрицы , а ранг матрицы , что не менее чем число эндогенных переменных системы минус один. Следовательно, для первого уравнения достаточное условие идентификации выполнено, уравнение точно идентифицируемо.

2 уравнение.

Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

.

Определитель матрицы , а ранг матрицы , что не менее чем число эндогенных переменных системы минус один. Следовательно, для второго уравнения достаточное условие идентификации выполнено, уравнение точно идентифицируемо.

3 уравнение.

Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

.

Определитель матрицы , а ранг матрицы , что не менее чем число эндогенных переменных системы минус один. Следовательно, для третьего уравнения достаточное условие идентификации выполнено, уравнение точно идентифицируемо.

2. Все уравнения системы точно идентифицируемы, следовательно, система в целом точно идентифицируема, для оценки ее параметров может быть применен косвенный метод наименьших квадратов.

3. Запишем приведенную форму модели в общем виде: