Геометрія

Студенти повинні бути ознайомлені як з груповою, так і зі структурною точкою зору на геометрію, з сучасним аксіоматичним методом, основними фактами геометрії Лобачевского; мати загальні уявлення про елементи багатовимірної геометрії афінного та евклідового просторів, різні неевклідові геометрії; вміти застосовувати теоретичні знання на практиці, зокрема, до доведення теорем і розв'язування задач шкільного курсу геометрії; використання знання топології при означенні ліній, поверхонь, геометричного тіла тощо. Студенти повинні продемонструвати достатньо широкий погляд на геометрію та її методи, а також на елементарну геометрію з точки зору вищої, готовність викладати шкільну геометрію, незалежно від того на якій аксіоматиці вона побудована, тобто готовність працювати в школі за будь-яким посібником.

Зміст програми

1. . Вектори. Вектори в системі координат. Скалярний, векторний, мішаний добутки, їх властивості та застосування. Приклади.

2. Пряма лінія на площині і в просторі. Різні види рівнянь прямої (на площині і в просторі). Взаємне розміщення прямих. Кут між прямими. Приклади.

3. Криві другого порядку: коло, еліпс, гіпербола, парабола. Їх означення, канонічні рівняння, властивості. Приклади.

4. Площина. Різні види рівнянь площини. Зведення рівняння площини до нормального виду. Взаємне розміщення площин. Кут між прямою і площиною. Приклади.

5. Геометричні перетворення (симетрія, поворот, паралельне перенесення, перетворення подібності, гомотетія). Їх означення та інваріанти. Приклади.

6. Рух. Означення, властивості. Теореми Шаля про класифікацію рухів. Приклади.

Поверхні другого порядку, утворенні обертанням лінії другого порядку навколо осі з наступним стисненням (еліпсоїд, гіперболоїди, еліптичний параболоїд). Їх означення, канонічні рівняння, вершини, головні перерізи, осі та площини симетрії. Правило утворення рівняння поверхні обертання. Приклади.

7. Поверхні другого порядку, утворенні результатом руху прямої лінії, паралельно до заданого вектора (циліндричні поверхні). Їх означення, канонічні рівняння, вершини, головні перерізи, осі та площини симетрії. Приклади.

8. Центральне та паралельне проектування. Їх властивості. Теорема Дезарга. Застосування теореми Дезарга до розв’язування задач на побудову. Малий та великий принципи двоїстості. Приклади.

9. Повний чотиривершинник. Його властивості. Гармонічна четвірка точок. Побудова четвертої гармонічної точки. Приклади.

10. Гомологія. ЇЇ означення, властивості, види. Побудова гомологічних точок. Приклади.

11. Теореми Паскаля та Бріаншона для кривих другого порядку. Побудова шостого елементу кривої, якщо задано п’ять її елементів (точки та дотичні). Приклади.

12. Методи побудови перерізів площини: сліду та внутрішнього проектування, їх суть. Побудова перерізів круглих тіл (циліндр, конус), якщо задано три точки на поверхні, точка і слід, дві точки на поверхні та одна поза нею. Приклади.

13. Типи точок на гладкій поверхні. Перша та друга квадратичні форми. Їх геометричний зміст. Гауссова кривина, її зв'язок з першою та другою квадратичними формами.

14. Просторова крива. Супроводжуючий тригранник Френе. Формули Френе для просторової кривої. Приклади.

15. Топологічний простір, його властивості. Приклади. Класифікація топологічно правильних многогранників. Теорема Ейлера.