Міністерство освіти і науки , молоді та спорту україни глухівський національний педагогічний університет

імені Олександра Довженка

“ЗАТВЕРДЖУЮ” ПЕРШИЙ ПРОРЕКТОР “_______” ______________ 2013 р

Кафедра математики і методики викладання Навчальний рік 2012 –2013 Семестр 8 Форма навчання денна

Програма

Державного екзамену з математики

Та методики навчання математики

Напрям підготовки: 6.040201 Математика*

Програма затверджена ВЧЕНОЮ РАДОЮ Глухівського НПУ ім. О. Довженка пр. № від .

Програму склали:

Кугай Н.В., Борисов Є. М., Бурчак С.О., Заїка О. В.

Затверджено кафедрою Математики і методики викладання (назва кафедри) Протокол № 7 від 28.03. 2012 р. Завідуючий кафедрою (підпис)

Пояснювальна записка

Мета державного екзамену з математики та методики викладання математики - перевірка рівня загальної математичної культури випускників та їх готовності до викладання математики.

Програма містить основні, найважливіші питання з геометрії, алгебри, математичного аналізу та методики викладання математики.

На державному екзамені студент повинен продемонструвати вміння формулювати означення і доводити теореми, а також ілюструвати свої відповіді прикладами.

Державний екзамен проводиться за білетами, затвердженими кафедрою. Пропонується такий варіант складання білетів: до кожного білета включається три теоретичні питання з різних розділів математики та методики викладання математики, а саме: перше з математичного аналізу, друге з алгебри або геометрії, третє - з методики викладання математики.

Запропонований варіант програми можна змінювати залежно від вибраного кафедрою варіанта програми читання основного курсу.

Вища алгебра

Випускники повинні володіти теоретико-множинною логічною символікою, основними поняттями алгебри і теорії чисел (алгебраїчна операція, група, кільце, поле, векторний простір, лінійна залежність і лінійна незалежність, базис і розмірність, лінійні оператори, матриці і визначники, прості числа, подільність, конгруенції, многочлени); мати чітке уявлення про основні числові системи і їх будову, володіти навичками розв'язування систем лінійних рівнянь, знати основні арифметичні застосування теорії конгруенцій.

Зміст програми

1. Системи лінійних рівнянь. Елементарні перетворення рівнянь системи. Рівносильні системи. Метод Гаусса розв'язання систем лінійних рівнянь .

2. Однорідні системи лінійних рівнянь, фундаментальна система розвязків.

3. Натуральні числа /аксіоми Пеано/. Принцип математичної індукції, різні форми індукції.

4. Різні методи розвязання СЛР (метод Гаусса, матричний метод, метод Крамера).

5. Матриці та визначники. Елементарні перетворення над матрицею.

6. Поле комплексних чисел. Алгебраїчна, тригонометрична форми комплексного числа.

7. Обернена матриця. Розв'язування системи лінійних рівнянь методом послідовного виключення невідомих.

8. Арифметичний n-вимірний векторний простір. Лінійна залежність і лінійна незалежність системи векторів. Ранг і базис системи векторів.

9. Критерій сумісності системи лінійних рівнянь. Існування ненульових розв'язків системи лінійних однорідних рівнянь.

10. Обернена матриця. Розв'язування матричним способом системи лінійних рівнянь. Формули Крамера.

11. Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів.

12. Векторні простори, підпростори. Ізоморфізм векторних просторів.

13. Лінійні оператори, властивості та дії над операторами.

14. Власні числа і власні вектори лінійного оператора.

15. Квадратичні форми. Критерій Сільвестра знакоозначеності квадратичної форми.

16. Теорема про ділення з остачею в кільці цілих чисел. Найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне двох чисел і зв'язок між ними.

17. Знаходження НСД та НСК двох чисел. Спосіб послідовного ділення або алгоритм Евкліда для знаходження НСД двох чисел.

18. Прості числа. Нескінченність множини простих чисел. Канонічний розклад складеного числа у вигляді добутку простих чисел та єдність такого зображення. Канонічний запис і застосування такого запису до задач - знаходження НСД і НСК чисел.

19. Означення і основні властивості конгруентності цілих чисел. Повна і зведена системи лишків, їх властивості. Теореми Ейлера і Ферма.

20. Лінійні конгруенції з одним невідомим, теорема про число розв'язків. Способи розв'язування лінійних конгруенцій.

21. Застосування теорії конгруенцій до виведення ознак подільності та знаходження довжини періоду десяткового дробу /при перетворенні звичайного дробу в десятковий/.

22. Многочлени над полем. Теорема про ділення з остачею. Найбільший спільний дільник двох многочленів і алгоритм Евкліда для знаходження НСД двох многочленів.

23. Многочлени з дійсними коефіцієнтами. Незвідні над полем дійсних чисел многочлени та канонічний розклад многочленів над полем дійсних чисел.

24. Многочлени над полем раціональних чисел. Цілі і раціональні корені многочлена з цілими коефіцієнтами. Незвідні над полем раціональних чисел многочлени.

25. Лінійний простір. Базис та розмірність лінійного простору.