VII. Глоссарий

Аксиома (от греч. axios- ценный; axioma – “принятие положения”, “авторитет”) – основное положение, самоочевидный принцип. Впервые термин встречается у Аристотеля; использовался в книгах Евклида “Начала”. Большую роль сыграли работы древнегреческого ученого Архимеда, который сформулировал аксиомы, относящиеся к измерению величин. Вклад в аксиоматику внесли Лобачевский, Пеано, Гильберт и др.

Алгебраическое дополнение минора – дополнительный к нему минор, умноженный на (–1)^i+k, где (i+k) – сумма соответствующих номеров строк и столбцов матрицы; алгебраическое дополнение вычисляется по формуле: A_ik =(–1)^i+kD_ik, где D_ik — минор (подопределитель, субдетерминант), дополнительный к элементу a_ik матрицы.

Алгебраические функции – функции, в которых над аргументом производится конечное число алгебраических действий; к алгебраическим функциям относятся полиномы, дробно-рациональные функции, иррациональные функции.

Антье (от франц. entiere–“целый”) – целая часть действительного числа.

Аппликата (от лат. applicata – “приложенная”) – третья по счету декартова координата точки в пространстве, обычно обозначаемая буквой z.

Асимптота (от греч. asymptotos – несовпадающий) кривой с бесконечной ветвью графика функции – прямая, к которой эта ветвь неограниченно приближается. Например, у гиперболы у=1/х асимптотами являются оси координат Ox и Оу. 

Бесконечно малая (величина, функция) – числовая функция или последовательность, стремящаяся к пределу, равному нулю.

Бесконечно большая (величина, функция) – числовая функция или последовательность, имеющая бесконечный предел того или иного знака.

Биномиальное распределение  вероятностей – распределение количества «успехов» m в последовательности из n независимых случайных испытаний, таких что вероятность «успеха» в каждом испытании равна p. Биномиальное распределение  вероятностей P_n(m)  вычисляется по формуле Бернулли

где q = 1– p,    =n!/m!/(n–m)! — биномиальные коэффициенты.

Вариационный ряд – последовательность вариант x_i , записанных в возрастающем порядке.

Вектор (от лат. vector – “несущий”) – направленный отрезок прямой определенной длины и направления. Термин ввел ирландский ученый Гамильтон (1845).

Векторным (линейным) пространством называется множество R, состоящее из элементов любой природы (называемых векторами), в котором определены операции сложения элементов, умножения элементов на действительные числа, удовлетворяющие условиям  коммутативности, дистрибутивности и некоторым другим. Любые n линейно независимых векторов n-мepного векторного пространства образуют базис этого пространства. 

Векторное произведение векторов а и b – вектор, который обозначается [а,b] и определяется следующим образом:

1) длина вектора [а,b] равна произведению длин векторов а и b на синус угла φ между ними (берётся тот из двух углов между а и b, который не превосходит π),

2) вектор [а,b] перпендикулярен вектору а и вектору b,

3) тройка векторов а, b, [а,b] всегда правая или всегда левая, согласно с ориентацией пространства.

Выборка (sample) или выборочная совокупность – подмножество случайно отобранных элементов исследуемого множества. Характеристики выборки используются для оценки исследуемого множества в целом.

Выборочная (эмпирическая) функция распределения – приближение теоретической функции распределения, построенное с помощью выборки из него.

Выпуклость функции – свойство графика функции y = f(x), заключающиеся в том, что каждая дуга кривой f(x) не выше (выпуклость книзу) или не ниже (выпуклость кверху) стягивающей её хорды.

Генеральная совокупность (от англ. general sample; нем. Grundgesamtheit) – вся изучаемая выборочным методом совокупность объектов и/или явлений (единиц отбора), из которой производится выборка.

Геометрическая вероятность — один из способов определения вероятности, позволяющий учитывать бесконечное число исходов и связанный с вычислением вероятности попадания точки в некоторую геометрическую область (отрезок, часть плоскости, объема и т.д.).

Гипербола (от греч. υπερβολη – “прохожу через что-либо”) – незамкнутая кривая из двух неограниченно простирающихся ветвей, является графиком функции у=1/х. Термин ввел древнегреческий ученый Апполоний Пермский.

Гистограмма (от греч. histos–столб) частот –столбчатая диаграмма, один из видов графического изображения статистического распределении случайных величин по количественному признаку. Представляет собой совокупность смежных прямоугольников одинакового основания по оси абсцисс. Высота каждого прямоугольника пропорциональна частоте n_i соответствующей варианты (частоте нахождения данной величины в выборочной совокупности), так что площадь каждого прямоугольника пропорциональна частоте n_i каждой варианты. Площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, то есть объему выборки: n = ∑n_i.

График функции (от греч. graphikos – начертанный) – геометрическое изображение функциональной зависимости функции от аргумента при помощи линии на плоскости.

Декартово (или прямое) произведение множеств — множество, элементами которого являются  все упорядоченные пары элементов исходных множеств. 

Дискретные случайные величины – величины, которые могут принимать отдельные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной величины может быть как конечным, так и бесконечным.

Дисперсия (от лат. dispersio – рассеяние) в математической статистике и теории вероятностей – мера рассеивания (отклонения от среднего). В статистике дисперсия есть среднее арифметическое из квадратов отклонений наблюденных значений случайной величины от их среднего арифметического. В теории вероятностей дисперсия случайной величины – математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Дифференциал функции (от лат. differentia ‒ разность, различие) dy – главная линейная часть приращения функции f(x), равная произведению производной на приращение аргумента:dy=f ^′(x)dx. Термин дифференциал  ввел немецкий ученый Лейбниц в 1675 г. (опубликовано в 1684г.).

Дифференциал  функции n-го порядка d⁽ⁿ⁾y называется дифференциал  от дифференциала (n–1)-го порядка.

Дифференциальное и интегральное исчисление – раздел математики, в котором изучаются производные, дифференциалы, первообразные и их применения к исследованию функций. Операции дифференцирования и интегрирования имеют взаимно обратный характер. Основные положения дифференциального и интегрального исчисления сформулировали Ньютон и Лейбниц во второй половине 17 в. Название интегральное исчисление предложил И. Бернулли в 1696 г.

Дифференцируемая функция на множестве X – функция, имеющая производную в каждой точке множества X. Всякая дифференцируемая функция непрерывна. Понятие дифференцируемость сформировалось в работах Римана, Вейерштрасса.

Доверительный интервал (ошибка испытаний, измерений) – термин, используемый в математической статистике при интервальной оценке статистических параметров. Доверительным называют интервал, который покрывает неизвестный параметр с заданной вероятностью (доверительной вероятностью,  уровнем надёжности). Метод доверительных интервалов разработал американский статистик  Нейман (Neyman J.), исходя из идей английского статистика  Фишера (Fisher R.)

Дополнение множества – это семейство элементов, не принадлежащих данному множеству.

Зависимые случайные события. Случайные события называются зависимыми, если наступление одного из них изменяет вероятность наступления другого. Вероятность совместного появления двух зависимых событий не равна произведению их вероятностей. Две случайные величины называют зависимыми, если значение одной из них влияет на вероятность значений другой.

Закон больших чисел в теории вероятностей утверждает, что эмпирическое среднее (среднее арифметическое) достаточно большой конечной выборки из фиксированного распределения близко к теоретическому среднему (математическому ожиданию) этого распределения.

Замечательные пределы – термин, использующийся для обозначения некоторых широко известных математических тождеств со взятием предела. Особенно известны первый и второй замечательные пределы.

Первый замечательный предел:

Второй замечательный предел:

Интеграл (от лат. integro – “восстанавливать”) – одно из основных понятий математического анализа, обозначающее процедуру отыскания (восстановления) функций по их производным. Первые систематические методы интегрирования были разработаны Ньютоном и Лейбницем. Знак интеграла (первая буква лат. слова summa) впервые появился у Лейбница, современное обозначение интеграла, знак ∫ , возник в 1686 г. Впервые слово интеграл употребил Я. Бернулли (1690). И. Бернулли в 1696 г. предложил название – интегральное исчисление.

Интерполирование функций – раздел теории функций, посвященный изучению вопросов приближённого представления функций.

Иррациональное число (от лат. irrationalis – “неразумный”) – число, не являющееся рациональным (представимым в виде периодической десятичной дроби). Термин ввел немецкий. ученый М. Штифель (1544). Строгая теория иррациональных чисел была построена во второй половине 19 века.

Квадратичная форма – многочлен от n переменных x₁, x₂,..., x_n, каждый член которого содержит либо квадрат одной из переменных, либо произведение двух различных переменных. Записывается в виде:

, где a_ij = a_ji.

Классическое определение вероятности: вероятность любого события A есть отношение числа m благоприятных для события A элементарных исходов к общему числу элементарных исходов n.

Ковариация – числовая характеристика совместного распределения двух случайных величин, равная математическому ожиданию произведения отклонений случайных величин от их математических ожиданий. Ковариация служит характеристикой взаимозависимости случайных величин.

Коэффициент корреляции – числовая характеристика совместного распределения двух случайных величин Х₁ и Х₂, выражающая их взаимосвязь. Коэффициент корреляции для Х₁ и Х₂ совпадает с ковариацией для отклонения этих величин от математического ожидания, деленного на среднеквадратичное отклонение.

Комбинаторика (от лат. combinare – “соединять”) – раздел математики, в котором изучаются сочетания и размещения, связанные с подсчетом комбинаций из элементов конечного множества.

Критерий Пирсона, или критерий χ² – наиболее часто употребляемый критерий для проверки гипотезы о законе распределения. Во многих практических задачах точный закон распределения неизвестен, то есть является гипотезой, которая требует статистической проверки того, что эта случайная величина подчиняется некоторому закону распределения F(x).

Линейная зависимость – свойство подмножества линейного пространства, которое имеет место в том случае, если существует нетривиальная линейная комбинация элементов этого множества, равная нулевому элементу. Если такой комбинации нет, то есть коэффициенты единственной такой линейной комбинации равны нулю, множество называется линейно независимым.

Линии второго порядка – линии на плоскости (x,y), которые заданы следующими уравнениями.

Эллипсы:

 

 Гиперболы:

Параболы: y² = 2px.

Пересекающихся прямые:

  

Параллельные прямые: x² = а² .

Линейное пространство – то же, что и векторное пространство, математическое понятие, обобщающее понятие совокупности всех векторов 3-мерного пространства на случай произвольного числа измерений.

Математический анализ (англ. mathematical analysis; нем. mathematische analysis) – раздел высшей математики, в котором функциональные зависимости изучаются методами дифференциального и интегрального исчисления. Основывается на теории пределов, понятиях производной, дифференциала, первообразной и др.

Математическая модель – система математических уравнений, алгоритмов и программ, с помощью которых дается адекватное объяснение изучаемого объекта (явления или процесса) и прогнозируется его поведение.

Математическое ожидание – среднее значение случайной величины. Для дискретной случайной величины математическое ожидание равно сумме произведений значений случайной величины на их вероятности.

Матрица (от лат. matrix) – прямоугольная таблица каких-либо элементов a_ik (чисел, математических выражений), состоящая из m строк и n столбцов. Если m=n, то матрица называется квадратной. Над матрицей можно производить действия по правилам матричной алгебры. Понятие матрицы появилось в трудах Сильвестра и Кэли. Кэли ввел для обозначения матрицы две вертикальные черты (1843). Матрицы 3*3, 4*4 встречаются у Эйлера, который называл их квадратами (1771).

Медиана (от лат. median) – средний показатель в ряду чисел. Медиана для ряда из N чисел х₁, х₂,..., x_N находится следующим образом: нужно расположить числа в возрастающем или убывающем порядке их значений. Если N является нечетным числом, то медиана является центральным числом, (N+1)/2. Если N является четным числом, то медиана определяется как среднее для центральной пары, т. е. N/2 и (N/2)+1.

Минор (подопределитель, субдетерминант) матрицы – минор, дополнительный к элементу a_ik, то есть определитель порядка n-1, получающийся из определителя матрицы (a_ik) посредством вычёркивания строки и столбца, на пересечении которых находится элемент a_ik.

Множество – набор, совокупность, собрание каких-либо объектов, называемых его элементами, обладающих общим для всех них характеристическим свойством. Понятие множества принадлежит к числу первоначальных математических понятий (наряду с такими понятиями как точка, прямая, плоскость, число и т.п.) и не может быть пояснено на основе более элементарных понятий.

Мода (mode) – наиболее частое или наиболее вероятное значение случайной переменной.

Модуль (от лат. modulus–мера) – абсолютное значение числа х (обозначается |х|). Если х>0, то |х|=х; если х <0, то |х|= –х. Модуль комплексного числа, х=а+ib, определяется так: |х|= √ (a²+b²). Термин ввел Коутс, ученик Ньютона. Знак модуля введен Вейерштрассом (1841).

Моменты случайной величины X – числовые характеристики распределения случайной величины, равные среднему значению её степеней. Момент 1-го порядка – математическое ожидание случайной величины MX, момент 2-го порядка – дисперсиея случайной величины DX, момент 3-го порядка является числовой характеристикой симметрии распределения случайной величины, момент 4-го порядка контролирует особенности вершины распределения в окрестности среднего.

Монотонная функция – функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательно, либо всегда неположительно. Если приращение функции не равно нулю для любого значения аргумента, то функция называется строго монотонной.

Независимые случайные события – два случайных события А и В называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. Вероятность совместного появления двух независимых событий А и В равна произведению их вероятностей: Р(АВ) = Р(А)·Р(В). Две случайные величины называют независимыми, если значение одной из них не влияет на вероятность значений другой.

Неопределенный интеграл (indefinite integral) от функции f(x) – это совокупность всех первообразных данной функции F(x)+C. Это утверждение записывается в виде =F(x)+C, где – обозначение неопределенного интеграла, C – произвольная константа, F(x) – некоторая первообразная – функция, первая производная которой равна подинтегральной функции f(x).

Непрерывная функция на множестве X – функция, для которой в каждой точке X бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции. Не всякая непрерывная функция дифференцируема. Число возможных значений непрерывной величины бесконечно.

Непрерывная случайная величина – случайная величина, имеющая непрерывную, дифференцируемую функцию распределения с непрерывной производной. Непрерывная случайная величина может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Несмещенность оценки. Оценка называется несмещенной, если среднее значение оценки, определенное по многократно повторенной выборке заданного объема из одной и той же генеральной совокупности, стремится к истинному значению оцениваемого параметра.

Несобственные интегралы – определенные интегралы от неограниченных функций или с неограниченным промежутком интегрирования. Пример несобственного интеграла – интеграл Эйлера-Пуассона:

= .

Несовместные события – события, появление которых исключает появление другого или других событий. Если события, образующие полную группу, попарно несовместны, то в результате испытаний появляется только одно из них.

Нормальное распределение вероятностей – распределение непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью вероятности

где а – математическое ожидание, σ – среднеквадратичное отклонение. Для нормально распределенной величины абсолютная величина отклонения случайной величины от а в пределах σ составляет: P(|X–a|<σ)=2Φ(1)= 68,26%,

где Φ(t) =– функция Лапласа или интеграл вероятностей.

Обратная матрица – квадратная матрица, при умножении которой на заданную матрицу получается единичная матрица. Для существования матрицы, обратной матрице A, необходимо и достаточно, чтобы определитель |A| не был равен нулю.

Определенный интеграл (интеграл Римана) – предел интегральных сумм для функции f(x), вычисленный на некотором отрезке [a,b] при диаметре разбиения, стремящемся к нулю и при условии, что этот предел существует, конечен и не зависит ни от способа разбиения, ни от выбора промежуточных точек разбиения. Обозначается следующим образом: .

Определитель или детерминант (determinant) матрицы – число, сопоставляемое любой квадратной матрице и полученное по определенному правилу, например, по правилу треугольников Сарруса для матриц третьего порядка или по правило вычисления определителя с помощью разложения по строке или столбцу матрицы. Согласно последнему правилу определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки или столбца на их алгебраические дополнения.

Оценка параметров – получение оценок параметров генеральной совокупности на основании выборочных данных. Используемые для этого методы подразделяются на два класса: оценка параметров и проверка гипотез. Задача оценки параметров состоит в получении оценок параметров распределения генеральной совокупности на основании выборочных данных.

При проверке гипотез выборочные данные используются для проверки предположений относительно распределения генеральной совокупности и его параметров, которые делаются до получения выборочных данных.

Первообразная функция F(x) – функция, первая производная (first derivative) которой равна заданной функции f(x): .

Плотность распределения вероятностей p(x) непрерывной случайной величины X – это производная от функции распределения F(x) данной случайной величины: p(x)=dF/dx.

Полигон частот – ломаная линия, соединяющая выборочные значения случайной переменной x_i и соответствующие им частоты n_i .

Полная группа событий – множество событий такое, что в результате любого испытания должно произойти хотя бы одно из них.

Предел (limit) числовой последовательности или функции– одно из основных понятий математического анализа, означающее, что некоторая переменная величина (последовательность или функция) в процессе ее изменения неограниченно приближается к определенному постоянному значению. Термин ввел Ньютон, который использовал понятие предела и термин limes (лат. граница) в своем методе флюксий (1640). Общепринятый символ lim для обозначения предела ввел французский ученый Люилье (1786). Определение предела через ε и σ дано Больцано (1817).

Признак Больцано-Вейерштраса существования предела числовой последовательности: если числовая последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.

Производная функции – предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю, если этот предел существует. Обозначения производной: f ^′(x), df/dx, . Производная – одно из основных понятий математического анализа. Впервые слово derivare употребляется в переписке Ньютона и Лейбница (1675). С 1665 г. Ньютон называл производную флюксией, что означало скорость. Название производная (derivee) ввел Лагранж (1797). В русский язык слово “производная” ввел В.И. Висковатов (1810).

Производной функции n-го порядка y⁽ⁿ⁾ называется производная от производной (n–1)-го порядка.

Правило Лопиталя – формула, используемая для раскрытия неопределенностей вида 0/0 или ∞/∞ и основанная на равенстве предела отношения функций к пределу отношения производных этих функций.

Размерность векторного пространства (dimensionality of vector-space) – максимальное число линейно-независимых векторов  в векторном (линейном) пространстве.

Ранг матрицы – наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы, ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов.

Решение системы n линейных уравнений. Если определитель Δ=|A| матрицы A системы линейных уравнений не равен нулю, то система имеет единственное решение x_j, которое может быть найдено

1) методом обратной матрицы: X=A^-1B,

2) по формулам Крамера: x_j=Δ_j /Δ,

где X–матрица-столбец, содержащий решения x_j системы, A–матрица системы, состоящая из коэффициентов при неизвестных, A^-1 – матрица, обратная к матрице A, B–матрица-столбец свободных членов, Δ_j – определитель матрицы, полученной из матрицы A заменой j-го столбца столбцом свободных членов, j=1, 2, …, n,

3) методом последовательного исключения переменных Гаусса.

Скалярное произведение векторов a и b – скаляр, равный произведению длин этих векторов и косинуса угла φ между ними; обозначается (а, b) или ab. Вычисляется по формуле ab = |a| |b| cosφ.

Случайное событие – событие, которое может либо произойти, либо не произойти при определенных условиях.

Смешанное произведение векторов a, b, c – результат скалярного умножения первого из этих векторов на векторное произведение второго вектора на третий; обозначается abc или (a, b, c). Смешанное произведение abc равно объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах a, b, c, взятому со знаком плюс, если упорядоченная тройка a, b, c правая, и со знаком минус, если она левая.

Несмещённой называют статистическую оценку, математическое ожидание которой равно истинному значению оцениваемого параметра. Несмещенная оценка имеет место в том случае, если она получена по выборочным значениям, лишённым систематической ошибки.

Совместные события – события, появление одного из которых не исключает появления другого.

Состоятельность оценки. Точечная оценка называется состоятельной, если при неограниченном увеличении объема выборки она стремится к истинному значению оцениваемого параметра.

Стандартное отклонение – то же, что и среднеквадратичное отклонение.

Среднеквадратичное отклонение – квадратный корень из дисперсии: σ= ; характеризует рассеяние случайной величины в окрестности ее среднего значения (математического ожидания).

Стандартная ошибка (standard error) – мера неточности оценки среднего значения или доли признака случайной величины, которые получаются при многократной случайной выборке заданного объема из одной и той же исследуемой совокупности. Стандартная ошибка – убывающая функция объема выборки: Δ=σ/ , где σ – стандартное отклонение, n – объем выборки. Чем меньше стандартная ошибка, тем более достоверной является оценка среднего значения или доли признака.

Теоремы Ферма. Если дифференцируемая функция f(x) на промежутке X достигает наибольшего или наименьшего значения функции во внутренней точке этого промежутка x₀ , то производная функции в этой точке равна нулю: f ^′(x₀)=0.

Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция выпукла вниз и вверх. Вторая производная дважды дифференцируемой функции в точке перегиба равна нулю.

Трансцендентные функции – функции, не относящиеся к классу алгебраических функций; к трансцендентным функциям относятся показательная функция, логарифмическая функция, тригонометрические, гиперболические функции и др.

Условная вероятность – вероятность события, вычисленная при условии осуществления другого события, например, вероятность извлечь белый шар из урны, содержащей конечное число белых и черных шаров при условии, что в предшествующем испытании был извлечен черный шар.

Формула Ньютона-Лейбница – формула вычисления определенного интеграла: если функция непрерывна на отрезке [a,b] и F(x) – любая первообразная функции на этом отрезке, то определенный интеграл от функции на отрезке [a,b] равен приращению первообразной F(x) на этом отрезке: = F(b) – F(a).

Функция (от лат. functio – “исполнение”) – одно из основных понятий математики, с помощью которого задается закон зависимости одних переменных величин от других. Термин впервые появился в 1692 г. у Лейбница, в более современном понимании – у Бернулли (1718 ). Обозначение функции f(x) ввел Эйлер (1734).

Функция распределения – функция F(x), определяющая вероятность P того, что в результате испытаний случайная величина X примет значение, меньшее x: F(x)=P(X<x).

Цепь Маркова – последовательность испытаний, в каждом из которых может появиться только одно из несовместных событий полной группы, причем вероятность каждого последующего испытания не зависит от результатов предшествующих испытаний. Понятие цепи Маркова является обобщением понятия независимых событий.

Частная производная – производная функции многих переменных по каждой из них.

Частота – число наблюдений n_i какого-то значения варианты x_i выборочной совокупности.

Число е =2,718281828459045… – математическая константа, являющаяся пределом выражения (1+1/n)ⁿ при n, стремящемся к бесконечности. Число е является основанием натурального логарифма. Число е – трансцендентное, поскольку не существует алгебраического уравнения, решением которого оно бы являлось. Число e часто называют числом Эйлера или числом Непера. Его впервые вычислил швейцарский математик Бернулли. Букву e начал использовать Эйлер в 1727 году.

Число π = 3,141592653589793… (от греч. περιφέρεια – “окружность”) – математическая константа, выражающая отношение длины окружности к ее диаметру. Архимед первым предложил способ вычисления π, рассматривая периметр вписанного многоугольника как нижнюю оценку длины окружности, а периметр описанного многоугольника как верхнюю оценку. Обозначение этого числа греческой буквой π первым использовал британский математик Джонс (1706). Общепринятым это обозначение стало после работ Эйлера (после 1736).

Экспонента (от лат. exponentis – “показывающий”) – то же, что и экспоненциальная функция. Термин ввел немецкий ученый Лейбниц (1679): экспоненциальная функция – частный вид показательной функции: y=e^x или y=exp(x), где е =2,71828 – число Эйлера.

Экстремум (от лат. exstremum – “крайнее”) функции – общее название максимума и минимума функции. Для того, чтобы функция f(x) имела в точке x₀ экстремум, необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю f ^′(x₀)=0 или не существовала.

Элементарные преобразования матрицы – преобразования матрицы, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц. К элементарным преобразованиям относятся перестановка местами любых двух строк или столбцов матрицы, умножение любой строки или столбца матрицы на константу, прибавление к любой строке или столбцу матрицы другой строки или столбца, умноженных на константу, транспонирование матрицы. Элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы и множество решений системы линейных алгебраических уравнений, которую представляет матрица. Используются в методе Гаусса для приведения матрицы к треугольному или ступенчатому виду.

Эффективность оценки. Несмещенная оценка является эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию по сравнению с другими несмещенными оценками того же параметра генеральной совокупности.