- •Методы оптимальных решений
- •Содержание
- •Введение
- •1. Моделирование – метод научного познания
- •1.1 Основные понятия моделирования
- •Вопросы *
- •1.2 Системный подход и моделирование социально-экономических систем
- •Вопросы
- •5. Численное решение
- •6. Анализ численных результатов и их применение
- •Приемы экономико-математического моделирования
- •Классификация моделей по типу информации:
- •Классификация моделей по учету фактора времени:
- •Классификация моделей по учету фактора неопределенности:
- •Классификация моделей по типу подхода к изучаемым социально-экономическим системам:
- •Вопросы
- •2.2 Принцип оптимальности в планировании и управлении
- •Вопросы
- •Математическая формулировка общей задачи линейного программирования
- •Структурная форма записи задачи линейного программирования
- •Вопросы
- •3.2 Формы записи задачи линейного программирования
- •Нормы затрат и выхода продукции
- •Решение
- •Общая форма записи задачи линейного программирования
- •Каноническая форма записи задачи линейного программирования
- •Стандартная форма записи задачи линейного программирования
- •4.2. Алгоритм графического метода
- •Нормы затрат и выхода продукции
- •Решение
- •1. Составление экономико-математической модели задачи
- •2. Построение граничных прямых, соответствующих системе ограничений
- •3. Определение области допустимых решений
- •4. Построение вектора градиента и линии уровня
- •5. Нахождение точки экстремума
- •6. Определение значения целевой функции
- •4.3. Варианты графического решения задач линейного программирования
- •Вопросы
- •Рекомендуемые источники к главе 4
- •5. Симплексный метод решения задач линейного программирования
- •5.1. Сущность симплексного метода
- •Вопросы
- •5.2. Алгоритм решения задач симплексным методом с естественным базисом
- •Показатели эффективности возделывания 1 га культур
- •Решение
- •1. Составление экономико-математической модели задачи
- •2. Приведение модели к канонической форме записи задачи, определение основных и дополнительных переменных
- •3. Составление базиса
- •4. Построение первой симплексной таблицы
- •Первая симплексная таблица (сокращенная)
- •Первая симплексная таблица (полная)
- •5. Проверка оптимальности решения
- •6. Построение второй симплексной таблицы
- •Первая симплексная таблица с разрешающим элементом
- •Вторая симплексная таблица
- •Правила нахождения коэффициентов второй симплексной таблицы
- •Вторая симплексная таблица
- •7. Построение третьей и последующих симплексных таблиц
- •Вторая симплексная таблица с разрешающим элементом
- •Третья симплексная таблица
- •Вопросы
- •5.3. Алгоритм решения задач симплексным методом с искусственным базисом
- •Решение
- •1. Составление экономико-математической модели задачи
- •2. Приведение модели к канонической форме записи задачи, определение основных и дополнительных переменных
- •3. Составление базиса, введение искусственных переменных
- •4. Построение первой симплексной таблицы
- •Первая сокращенная симплексная таблица с м-строкой
- •5. Решение вспомогательной задачи симплексным методом с естественным базисом
- •Данные о содержании питательных веществ и стоимости культур
- •Решение
- •1. Составление экономико-математической модели задачи
- •2. Приведение модели к канонической форме записи задачи, определение основных и дополнительных переменных
- •3. Составление базиса, введение искусственных переменных
- •4. Построение первой симплексной таблицы
- •Первая симплексная таблица
- •5. Проверка оптимальности решения
- •6. Построение второй симплексной таблицы
- •Первая симплексная таблица с разрешающим элементом
- •Вторая симплексная таблица
- •7. Построение третьей и последующих симплексных таблиц
- •Третья симплексная таблица
- •Вопросы
- •5.4. Алгоритм решения задач симплексным методом в Microsoft Excel 2010
- •Показатели эффективности возделывания 1 га культур
- •Решение
- •1. Составление экономико-математической модели задачи
- •2. Составление формы для ввода данных в Microsoft Excel
- •3. Ввод исходных данных в форму Microsoft Excel
- •4. Ввод формул для вычислений значений целевой функции и левой части неравенств
- •5. Настройка программы Microsoft Excel 2010
- •6. Установка значений в окне Параметры поиска решений
- •7. Анализ полученного решения
- •6.2. Постановка и математическая формулировка транспортной задачи
- •Постановка задачи
- •Матрица транспортной задачи
- •6.3. Алгоритм решения транспортной задачи (метод северо-западного угла)
- •Стоимости перевозок одной тонны картофеля (ден. Ед.)
- •Решение
- •1. Проверка типа задачи (открытая или закрытая)
- •2. Составление экономико-математической модели задачи
- •Матрица транспортной задачи (ден. Ед.)
- •3. Составление опорного плана
- •Опорный план транспортной задачи (ден. Ед.)
- •4. Проверка решения на оптимальность
- •Опорный план транспортной задачи (ден. Ед.)
- •5. Построение контура
- •Правила построения контура
- •Опорный план транспортной задачи с контуром (ден. Ед.)
- •6. Построение нового опорного плана
- •7. Проверка нового плана на оптимальность
- •Вопросы
- •6.4. Алгоритм решения транспортной задачи в Microsoft Excel 2010
- •Себестоимость перевозки 1 т сена, руб.
- •Решение
- •1. Проверка типа задачи (открытая или закрытая)
- •2. Составление экономико-математической модели задачи
- •6. Анализ полученного решения
- •Вопросы
- •6.5. Задача о назначениях
- •Общий вид транспортной матрицы задачи о назначениях
- •Экономико-математическая модель задачи о назначениях
- •Структурная форма записи задачи о назначениях
- •Вопросы и задания для самопроверки и самоподготовки
- •6.6. Алгоритм решения задачи о назначениях с помощью Microsoft Excel 2010
- •Производительность работников
- •Решение
- •1. Составление экономико-математической модели задачи
- •7.2 Прямая и двойственная задача
- •Построение двойственной задачи
- •Исходные данные задачи
- •Решение
- •1. Составление экономико-математической модели задачи
- •2. Приведение модели к канонической форме записи задачи, определение основных и дополнительных переменных
- •3. Решение задачи симплексным методом
- •Последняя симплексная таблица (оптимальное решение)
- •4. Анализ двойственных оценок
- •Симплексная таблица с коэффициентами замещения и двойственными оценками
- •Вопросы
- •7.3 Основные свойства двойственных оценок
- •Вопросы
- •7.4 Алгоритм решения двойственной задачи в Microsoft Excel 2010
- •Решение
- •1. Составление экономико-математической модели задачи
- •2. Решение задачи симплексным методом
- •3. Анализ оптимального решения
- •4. Мера влияния ограничения на целевую функцию
- •5. Свойство оптимальности решения
- •Вопросы
- •Рекомендуемые источники к главе 7
- •Библиографический список
- •Приложение 1 Полезные ссылки
Вопросы
Что называется экономико-математическими методами?
Как расшифровать аббревиатуру «ЭММ»?
Каковы принципы разработки экономико-математических методов?
Какие научные дисциплины и методы входят в состав экономико-математических методов?
Перечислите основные виды математических методов, применяемых в математических расчетах. В чем их основное различие?
2.2 Принцип оптимальности в планировании и управлении
Экономико-математическое моделирование базируется на применении математического программирования.
Программирование означает составление, выбор наилучшего варианта, плана. Математическое программирование включает: линейное, нелинейное и динамическое программирование.
Оптимальное (математическое) программирование – раздел прикладной математики, изучающий задачи условной оптимизации.
В экономике задачи оптимизации возникают при практической реализации принципа оптимальности в планировании и управлении.
Суть принципа оптимальности состоит в стремлении выбрать такое управленческое решение X = (х1, х2, …, хn), где хj, (j =1, 2,…, n) – его компоненты, которое наилучшим образом учитывало бы внутренние возможности и внешние условия производственной деятельности хозяйствующего субъекта.
Слова «наилучшим образом» означают выбор критерия оптимальности, то есть экономического показателя, позволяющего сравнивать эффективность тех или иных планово-управленческих решений.
Критерий оптимальности – это цель, выраженная количественным показателем и заданная математически целевой функцией (функционалом). Традиционные критерии оптимальности: максимум прибыли, минимум затрат, максимум рентабельности и т.д.
Допустимым решением (планом) называется набор значений переменных, удовлетворяющих системе ограничений (условий).
Оптимальным вариантом (планом) называется вариант, который обеспечивает достижение критерия оптимальности.
Минимальное или максимальное значение функции называется экстремальным значением целевой функции.
Необходимым условием использования принципа оптимальности (оптимального подхода к планированию и управлению) является гибкость, альтернативность производственно-хозяйственных ситуаций, в условиях которых приходится принимать те или иные планово-управленческие решения. Именно такими, как правило, и являются ситуации, составляющие повседневную практику хозяйствующего субъекта (выбор производственной программы, прикрепление к поставщикам, маршрутизация, приготовление кормовых смесей и т.д.).
Таким образом, выбор оптимального управленческого поведения в конкретной производственной ситуации связан с проведением экономико-математического моделирования с позиций системности и оптимальности, решением задачи оптимального программирования.
Вопросы
Что такое оптимальное программирование?
Какие виды программирования включает математическое программирование?
В чем суть принципа оптимальности в планировании и управлении?
Что такое критерий оптимальности?
Приведите примеры критерия оптимальности.
Что такое допустимое решение?
Какой план называют оптимальным?
Что такое целевая функция?
Какие значения функции называют экстремальными значениями?
Почему применение принципа оптимальности необходимо в управлении производственными ситуациями?
2.3 Классификация задач оптимального программирования
Задачи оптимального программирования классифицируют по следующим признакам.
Задачи по характеру взаимосвязи между переменными:
линейные (все функциональные связи в системе ограничений и функция цели – линейные функции);
нелинейные (наличие нелинейности в системе ограничений, функции цели).
Задачи по характеру изменения переменных:
непрерывные;
дискретные.
Задачи по учету фактора времени:
статические;
динамические.
Задачи по наличию информации о переменных:
задачи в условиях полной определенности (детерминированные);
задачи в условиях неполной информации (случай риска);
задачи в условиях неопределенности.
Задачи по числу критериев оценки альтернатив:
простые (однокритериальные), где экономически приемлемо использование одного критерия оптимальности;
сложные (многокритериальные), где выбор управленческого решения производится по нескольким показателям.
Вопросы
Каковы признаки классификации задач оптимального программирования?
Приведите примеры задач в каждой из классификаций задач оптимального программирования.
Рекомендуемые источники к главе 2
4, 7, 15, 22
3. Общая задача линейного программирования
3.1 Общая постановка задачи линейного программирования
На практике наиболее широкое распространение получили экономические задачи, в которых условия производства и критерий оптимальности могут быть представлены в виде системы линейных уравнений и неравенств, в которые входят неизвестные переменные в первой степени (уравнения вида y = ax + b) .
Линейное программирование – это частный раздел оптимального программирования. Линейное программирование – это метод поиска неотрицательных значений переменных, минимизирующих и максимизирующих значение целевой функции.
В теории линейного программирования разработаны эффективные методы нахождения оптимального плана согласно экстремальному значению целевой функции. Чтобы воспользоваться этими методами необходимо математически сформулировать (описать) условия и ограничения задачи.